Fuerzas entre dovelas, convergencia y admisibilidad

En OGR Slip2D, todos los métodos de dovelas excepto el Ordinario obtienen el factor de seguridad por iteración, y Spencer y GLE/Morgenstern-Price añaden una búsqueda del factor λ de las fuerzas entre dovelas. Las primeras secciones describen cómo se controlan esas iteraciones y cuándo se acepta su resultado. Una solución que ha convergido todavía puede ser inadmisible, y lo deciden tres comprobaciones: el signo del empuje entre dovelas, la comprobación de m-alfa y la de tracción. La línea de empujes y los códigos que se escriben en lugar del factor de seguridad cierran el capítulo.

3.3.1Tolerancia de convergencia y límite de iteraciones#

Los métodos de Bishop y de Janbu iteran sobre el propio factor de seguridad (Ec. (3.2.6) y Ec. (3.2.9)): en cada pasada se evalúa el segundo miembro de la ecuación con el valor actual y se toma el resultado como valor siguiente. La iteración se detiene cuando dos valores sucesivos coinciden dentro de la tolerancia de convergencia $\varepsilon$:

El criterio es absoluto (en unidades del factor de seguridad) y no se aplica nunca al primer paso, que se mide respecto del valor inicial y no respecto de un valor iterado. Los demás métodos usan el mismo $\varepsilon$ en criterios propios: Spencer y GLE, en cada punto fijo de la búsqueda de λ y en $|F_f - F_m|$ (Sección 3.3.3), y la familia de inclinación impuesta, en la anchura del intervalo que encierra su raíz (Sección 3.2.7). Una superficie que alcanza el límite de iteraciones sin cumplir su criterio no tiene factor de seguridad: se rechaza y se registra con el código de error −111 (Sección 3.3.9).

El mismo ajuste Maximum iterations limita un bucle distinto en cada familia de métodos, y la aceleración de la sección siguiente solo llega a algunos de ellos. La Tabla 3.3.2 recoge a qué se aplica cada ajuste y cada comprobación de este capítulo.

3.3.2Aceleración de Steffensen-Aitken#

Una iteración de punto fijo converge linealmente, y con lentitud donde la función de iteración es plana cerca de su raíz. El proceso $\Delta^2$ de Aitken (Aitken, 1926) estima el límite de la sucesión extrapolando tres valores iterados sucesivos,

y reiniciar la iteración desde $F^{*}$ cada tres valores iterados es el método de Steffensen (Steffensen, 1933). Con Accelerate convergence activado, las iteraciones de Bishop y de Janbu sustituyen uno de cada tres valores iterados por $F^{*}$. El criterio de la Ec. (3.3.1) no cambia, de modo que la aceleración modifica la rapidez con que la sucesión alcanza su raíz, pero no cuál es esa raíz. Si el denominador de la Ec. (3.3.2) es menor que 10⁻¹⁴ en valor absoluto, o $F^{*}$ no es un número positivo y finito, se conserva el valor iterado sin acelerar.

3.3.3La búsqueda de λ en Spencer y GLE#

Para cada valor de λ, Spencer y GLE/Morgenstern-Price dan dos factores de seguridad: $F_f$, a partir del equilibrio de fuerzas (Ec. (3.2.16)), y $F_m$, a partir del equilibrio de momentos (Ec. (3.2.17)). La solución es el λ para el que ambos coinciden (Fredlund y Krahn, 1977). OGR Slip2D resuelve dos problemas anidados: el interior busca, para un λ dado, un punto fijo por cada factor, y el exterior, la raíz de

Los dos puntos fijos para un mismo λ#

Cada factor se itera hasta su propio punto fijo, al que aquí se denomina rama. En cada pasada se recorren las dovelas calculando la fuerza normal en la base y la fuerza normal entre dovelas (Ec. (3.2.14) y Ec. (3.2.15)) con la fuerza tangencial entre dovelas de la pasada anterior, se actualiza $X_i = \lambda f(x_i) E_i$ y se evalúa la ecuación propia de la rama, que da un nuevo valor $g(F_k)$. La actualización se amortigua y se mantiene dentro del intervalo de factores que admite la búsqueda:

El estado de esta iteración es el par $(F, X)$, de modo que una rama solo se acepta cuando ambos se han estabilizado, esto es, cuando el paso $|g(F_k) - F_k|$ es menor que $\varepsilon$, cada uno de los dos últimos pasos es menor que el anterior (la iteración es contractiva) y el residuo del empuje

donde $T_j$ son las fuerzas de los soportes en la base de la dovela $j$; dicho residuo es el mayor cambio de una fuerza tangencial entre dovelas en la pasada, en relación con la fuerza total que actúa sobre la masa. También se acepta una rama cuyo paso y cuyo residuo del empuje han permanecido ambos por debajo de $\varepsilon$ durante dos pasadas consecutivas, porque una iteración amortiguada que converge no tiene por qué acortar su paso en cada pasada. Ninguna rama se acepta antes de su tercera pasada.

Una rama se abandona, y se pierde su λ, cuando $|m_\alpha| < 10^{-6}$ en alguna base, se anula su suma de términos desestabilizadores o el nuevo valor no es un número positivo y finito; cuando una fuerza normal entre dovelas supera diez veces la fuerza total de la Ec. (3.3.5) (divergencia); cuando durante 80 pasadas consecutivas no ha mejorado ni su menor paso ni su menor residuo del empuje, lo que indica que deambula en lugar de converger; o cuando ha agotado su límite de pasadas, que es el mayor de los valores Maximum iterations y 400.

Una iteración amortiguada puede quedar atrapada en un ciclo de periodo 2 alrededor de un punto fijo que nunca alcanza, o avanzar con lentitud hacia él. Tras 80 pasadas, o antes si durante diez pasadas consecutivas su paso ha crecido respecto del de dos pasadas atrás, una rama que todavía varía en más de $\varepsilon$ continúa con la relajación de Wegstein (1958):

con $\omega$ limitado a $0.1 \le \omega \le 5$; la actualización amortiguada de la Ec. (3.3.4) es la misma regla con $\omega = \tfrac12$. Si se toma $s$ como la pendiente de la secante de la función de iteración, esa pendiente se anula localmente, de modo que una misma regla amortigua un ciclo y extrapola un avance lento. Con esta relajación, una rama se acepta cuando su paso y su residuo del empuje llevan ambos dos pasadas consecutivas por debajo de $\varepsilon$. Por último, si para algún λ la rama de fuerzas no produce ningún estado mientras que la de momentos ha convergido, la rama de fuerzas se resuelve una vez más a partir de $F_m$, con la relajación activa desde la primera pasada, y solo se conserva el nuevo estado si converge.

La búsqueda de λ#

1. Rejilla. Se muestrea λ en una lista calibrada (−1.5, −1.0, −0.6, −0.4, −0.2, −0.1, 0, 0.1, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0 y 1.5), recortada al intervalo fijado en el proyecto; con el intervalo por defecto, de −0.1 a 6.0, quedan −0.1, 0, 0.1, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0 y 1.5. Un valor se da por válido cuando ambas ramas convergen a factores comprendidos entre 0.05 y 50 y su empuje entre dovelas es admisible (Sección 3.3.4). El muestreo se detiene en el primer cambio de signo de $g$.
2. Ampliación. Si la rejilla no acota ninguna raíz, se muestrean también λ = 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0, 5.0 y 6.0, hasta donde permita el intervalo fijado en el proyecto.
3. Huecos. Si sigue sin haber cambio de signo y $|g|$ disminuye hacia un valor de la rejilla que no produjo ninguna muestra utilizable, el intervalo hasta ese valor se divide por la mitad, hasta seis veces, para buscar en él el cambio de signo.
4. Valores apartados. Si aun así no lo hay, se reincorporan los valores de λ que se apartaron solo porque su empuje entre dovelas era de tracción, y se toma el intervalo más próximo a los admisibles.
5. Refinamiento. Dentro del intervalo se refina la raíz por el método de la secante, que se sustituye por bisección siempre que el paso de secante se sale del intervalo o falla una rama, con un máximo de Maximum iterations pasos y hasta que $|g| < \varepsilon$. El factor de seguridad es $\tfrac12(F_f + F_m)$ para ese λ.

Si no queda ningún valor de la rejilla porque todos se rechazaron por su empuje entre dovelas, se vuelve a muestrear la rejilla sin ese criterio y la respuesta se marca como inadmisible (Sección 3.3.4). Un intervalo que se refina sin que $|g|$ llegue a bajar de $\varepsilon$ no da ningún factor de seguridad. Si no se acota nada en absoluto, el programa devuelve el λ muestreado con menor $|g|$, junto con el valor correspondiente de $F = \tfrac12(F_f + F_m)$; esa respuesta se considera convergida si $|g| < 0.02$ y fallida («no λ-bracket») en caso contrario.

3.3.4Admisibilidad de las fuerzas entre dovelas#

Al incorporar las fuerzas entre dovelas, $g(\lambda)$ puede tener más de una raíz, y no todas son soluciones: en una raíz espuria, muchas caras entre dovelas se separan por tracción (Ching y Fredlund, 1983). Como el suelo no transmite tracciones a través de una cara vertical, en cada λ que muestrea OGR Slip2D comprueba las fuerzas normales entre dovelas de la rama de fuerzas:

La resultante de las fuerzas normales entre dovelas interiores tiene que ser de compresión. La condición se impone a la suma y no a cada cara, porque una solución legítima puede presentar una pequeña tracción en una o dos caras próximas a un extremo libre, donde $E$ tiende a cero de todos modos. Es una preferencia: un λ que no la cumple se aparta mientras queden otros valores. Si ninguno la cumple, la respuesta se calcula con el criterio relajado y la superficie se marca como inadmisible: conserva su factor de seguridad, pero queda excluida de la elección de la superficie crítica, salvo que no exista ninguna admisible. Con cada resultado el programa publica el margen $\sum E_i / \sum |E_i|$, que vale +1 cuando todas las caras interiores están comprimidas y −1 cuando todas están a tracción, para poder apreciar si un veredicto está a punto de cambiar.

Los métodos de inclinación impuesta no tienen ningún λ que elegir. Para ellos el programa publica un diagnóstico de inversión del empuje (la mayor fuerza entre dovelas que actúa en sentido contrario al dominante, dividida por la fuerza máxima), que no se utiliza para rechazar ninguna superficie.

3.3.5La comprobación de m-alfa#

La magnitud $m_\alpha$ de la Ec. (3.2.5) es el denominador de la fuerza normal en la base en todos los métodos que la obtienen del equilibrio vertical de la dovela. Cuando esta magnitud se hace pequeña, la fuerza normal y, con ella, la resistencia al corte que se deriva de esta se amplifican; cuando se hace negativa, el factor de seguridad pierde su sentido. Whitman y Bailey (1967) propusieron no aceptar un factor de seguridad sin un examen más detenido cuando $m_\alpha$ baja de 0.2, aproximadamente, en alguna dovela. Una vez que el factor de seguridad ha convergido, OGR Slip2D evalúa, en cada dovela,

con el valor de $F$ ya convergido, el sentido de deslizamiento que usó el método y la $\tan\phi'$ con la que este linealizó la envolvente, y rechaza la superficie si alguna dovela queda por debajo de 0.2. La Figura 3.3.2 muestra dónde ocurre: en el pie, donde la base asciende en el sentido del deslizamiento ($\alpha < 0$), y antes cuanto mayor es $\tan\phi'/F$. En un material puramente cohesivo, $m_\alpha = \cos\alpha$, y la comprobación equivale a imponer un tope a la inclinación de la base, $|\alpha| \le \arccos 0.2 = 78.46°$.

Superar 0.2 no certifica un factor de seguridad; solo elimina las superficies cuyo cálculo ha dejado de ser fiable. Duncan, Wright y Brandon (2014) tratan el problema y sus remedios, entre ellos limitar la pendiente con que puede ascender hacia el pie una superficie de la búsqueda y, si la dificultad persiste en esa zona, recurrir al método ordinario, que no contiene ningún denominador de ese tipo.

3.3.6La comprobación de tracción#

Donde la presión intersticial es alta o la base muy inclinada (típicamente cerca de la coronación, en una superficie profunda), la tensión normal efectiva en la base de una dovela puede resultar negativa. Una base sometida a tracción no es el plano de corte que suponen los métodos, y el factor de seguridad puede dejar de ser fiable. La comprobación de tracción, desactivada por defecto, verifica una vez alcanzada la convergencia que

en un porcentaje de las dovelas, contadas desde el pie (el 95 % por defecto); se excluyen las más próximas a la coronación, porque la tracción en esa zona es justamente lo que representa una grieta de tracción. $N$ es la fuerza normal en la base que da la propia solución del método: en Bishop y Janbu, la del equilibrio vertical de la dovela (Ec. (3.2.4)); en los demás métodos, la fuerza que cada uno resuelve. La tracción admitida $\sigma_t$ es nula para todos los modelos de resistencia salvo los dos de Hoek-Brown, cuyo criterio tiene una resistencia a tracción finita. El programa toma la tensión en la que se anula el paréntesis del criterio (Hoek, Carranza-Torres y Corkum, 2002):

donde

$s,\ m_b$

constantes de Hoek-Brown del macizo rocoso; $m$ en el modelo clásico (—)

$\sigma_{ci}$

resistencia a compresión simple de la roca intacta (kPa)

3.3.7Linealización autoconsistente de envolventes curvas#

Todos los métodos toman como resistencia de una base la tangente a su envolvente en una estimación de la tensión normal efectiva (Ec. (3.2.1)). Con Mohr-Coulomb el punto de tangencia no importa; con una envolvente curva, sí: una tangente trazada en una tensión distinta de la que el método acaba resolviendo queda, en esa tensión, por encima de una envolvente cóncava, y una tangente trazada en una tensión truncada a cero, sobre una envolvente que pasa por el origen, no da ninguna resistencia. Por ello OGR Slip2D resuelve la superficie una primera vez a partir de la primera estimación (Ec. (3.2.2)) y repite después la solución, linealizando cada vez la envolvente en la tensión normal efectiva de la solución anterior,

hasta que la tensión de ninguna dovela varíe en más de $10^{-6}\max\left(1\ \mathrm{kPa},\ |\sigma'_{n,i}|\right)$. En ese punto fijo, la recta que usa cada método da la resistencia que tiene la propia envolvente en la tensión que el método resuelve. Solo intervienen las dovelas cuya envolvente tiene una tangente que depende de la tensión (para saberlo, la envolvente se evalúa en 5 y 500 kPa), de modo que un modelo de Mohr-Coulomb se resuelve una sola vez, como antes. Si las tensiones no se han estabilizado tras 50 soluciones, se informa de que la superficie no ha convergido.

3.3.8La línea de empujes#

La línea de empujes es el lugar geométrico de los puntos en los que actúan las fuerzas normales entre dovelas. Es una incógnita de los procedimientos de equilibrio completo, y su posición dentro de la masa deslizante permite comprobar si las fuerzas entre dovelas resultan razonables (Spencer, 1967). OGR Slip2D la dibuja después del análisis para Spencer, GLE/Morgenstern-Price, Lowe-Karafiath y Corps of Engineers #1 y #2, los métodos que resuelven las fuerzas entre dovelas. No se ofrece para Bishop, Janbu ni el método ordinario, que las eliminan por hipótesis.

La línea se calcula recorriendo las dovelas, una a una, con el equilibrio de fuerzas planteado para el factor de seguridad convergido y con las razones entre fuerza tangencial y normal que usó el método ($\lambda f(x)$ o $\tan\theta$); así se recuperan $E$, $X$, $N$ y $S$ en cada dovela. La altura a la que actúa la fuerza normal en cada cara se deduce del equilibrio de momentos de la dovela respecto del punto medio de su base:

donde

$x_c,\ y_c$

punto medio de la base de la dovela (m)

$x_R,\ y_R$

abscisa de la cara derecha y altura del empuje sobre ella (m)

$E_R,\ X_R$

fuerzas entre dovelas en la cara derecha (kN/m)

$M_c$

momento antihorario, respecto del punto medio de la base, del resto de las fuerzas que actúan sobre la dovela: la de su cara izquierda, su peso (aplicado en el centro de gravedad de la dovela), la fuerza sísmica, las fuerzas del agua y los soportes (kN·m/m)

El recorrido se hace desde los dos extremos libres hacia la dovela central, cuyas dos caras toman la media de los dos recorridos; así, todas las dovelas quedan en equilibrio de momentos salvo las dos contiguas a la central, que se reparten el desequilibrio que deje el método. Donde $E$ es prácticamente nulo, la altura queda indefinida y la fuerza se sitúa a un tercio de la altura de la cara.

3.3.9Códigos de error de las superficies#

Una superficie que no tiene un factor de seguridad admisible sigue figurando entre los resultados, y el programa escribe en su lugar un código negativo, tanto en la exportación de datos brutos como en el recuento de superficies rechazadas. La Tabla 3.3.3 explica su significado; la lista completa de códigos figura en la Sección 5.5.

3.3.10Referencias#

• Aitken, A.C. (1926). On Bernoulli's numerical solution of algebraic equations. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 46, 289–305.
• Ching, R.K.H. & Fredlund, D.G. (1983). Some difficulties associated with the limit equilibrium method of slices. Canadian Geotechnical Journal, 20(4), 661–672.
• Duncan, J.M., Wright, S.G. & Brandon, T.L. (2014). Soil Strength and Slope Stability, 2nd ed. Wiley.
• Fredlund, D.G. & Krahn, J. (1977). Comparison of slope stability methods of analysis. Canadian Geotechnical Journal, 14(3), 429–439.
• Hoek, E., Carranza-Torres, C. & Corkum, B. (2002). Hoek–Brown failure criterion — 2002 edition. Proceedings of the 5th North American Rock Mechanics Symposium (NARMS-TAC 2002), Toronto, 1, 267–273.
• Spencer, E. (1967). A method of analysis of the stability of embankments assuming parallel inter-slice forces. Géotechnique, 17(1), 11–26.
• Steffensen, J.F. (1933). Remarks on iteration. Skandinavisk Aktuarietidskrift, 16, 64–72.
• Wegstein, J.H. (1958). Accelerating convergence of iterative processes. Communications of the ACM, 1(6), 9–13.
• Whitman, R.V. & Bailey, W.A. (1967). Use of computers for slope stability analysis. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE, 93(SM4), 475–498.