Fuerzas de soporte

Un refuerzo (anclaje, bulón, pilote, lámina geosintética o muro) actúa sobre la masa deslizante en el punto donde corta la superficie de rotura. La fuerza depende del tipo de soporte (OGR Slip2D tiene nueve) y entra en cada método como fuerza activa o pasiva sobre la base de la dovela atravesada. Siguen dos cálculos relacionados: el empuje del agua en una grieta de tracción y el retroanálisis de la fuerza que necesita un talud para alcanzar un factor de seguridad objetivo.

3.10.1Un soporte que corta la superficie de rotura#

Un soporte es un segmento recto que va desde la cabeza, el extremo situado en el paramento del talud, donde están la placa o la conexión, hasta la cola, que es el extremo anclado. OGR Slip2D busca el primer punto de intersección del segmento con la superficie de rotura, contando desde la cabeza, y evalúa allí la fuerza que el soporte puede aportar, $F(d)$, donde $d$ es la distancia de la cabeza a esa intersección. La fuerza actúa en ese punto, sobre la base de la dovela que lo contiene (Figura 3.10.1). Todo se expresa por metro de talud, de modo que la capacidad de un elemento discreto se divide por su separación fuera del plano $S$.

La fuerza, orientada según se indica en la Sección 3.10.3, se descompone en la base de esa dovela, cuya cuerda tiene una inclinación $\alpha$:

donde

$F_x,\ F_y$

componentes de la fuerza del soporte, con $x$ hacia la derecha e $y$ hacia arriba (kN/m)

$s$

sentido del deslizamiento, ±1, elegido para que $\mathbf{t} = s\,(\cos\alpha,\ \sin\alpha)$ sea el vector unitario según la base en el sentido que se opone al deslizamiento

$\mathbf{n} = (\sin\alpha,\ -\cos\alpha)$

normal unitaria, dirigida desde la dovela hacia el terreno que hay bajo su base

$T_S$

componente tangencial, positiva si se opone al deslizamiento (kN/m)

$T_N$

componente normal, positiva si comprime la dovela contra su base (kN/m)

Un soporte que no llega a la superficie, o que no desarrolla capacidad donde la corta, no aplica ninguna fuerza sobre ella. El factor de seguridad es entonces el del talud sin el soporte, un resultado que a primera vista no se distingue de cualquier otro; por eso las notas del análisis indican cuántos de los soportes colocados no han aportado nada, y por qué.

3.10.2Soportes activos y pasivos#

La forma de incluir un refuerzo en un factor de seguridad definido sobre la resistencia depende de si su fuerza existe antes de que la masa se mueva o solo se desarrolla con el movimiento. Siguiendo a Duncan y Wright (2005), OGR Slip2D ofrece los dos tratamientos. Un soporte activo, como un anclaje tesado, es una fuerza que ya actúa sobre la masa y reduce la fuerza desestabilizadora. Un soporte pasivo, como un bulón sin tesar, un pilote o un geosintético, se moviliza junto con el suelo; por eso su fuerza tangencial se suma a la resistencia y se divide por el factor de seguridad, igual que la resistencia al corte. Si $R$ y $D$ son los términos resistente y desestabilizador de un método, resulta:

donde

$R,\ D$

términos resistente y desestabilizador del método sin el soporte (kN/m; en un círculo, momentos divididos por el radio)

$T_S,\ T_N$

componentes tangencial y normal de la Ec. (3.10.1), sumadas para los soportes y las dovelas que estos atraviesan

$\phi'$

ángulo de rozamiento en la base de la dovela atravesada

En ambas expresiones la componente normal aumenta la resistencia por rozamiento de la base sobre la que presiona; solo la componente tangencial pasa del denominador al numerador. Planteada para una sola base, la fuerza tangencial que se moviliza en una base atravesada por un soporte pasa a ser

donde $N$ es la fuerza normal en la base, que ya incluye $T_N$ por el equilibrio de la dovela. Los dos tratamientos solo se distinguen en esa línea: sumada sobre una masa en equilibrio de fuerzas, convierte $F = R/(D - T)$ en $F = (R + T)/D$. Cada familia de métodos la aplica en sus propias ecuaciones (Sección 3.2):

• Spencer, GLE / Morgenstern-Price, los métodos Corps of Engineers y Lowe-Karafiath tratan la parte normal de la fuerza como una carga sobre la dovela y suman la parte tangencial al cortante movilizado en la base, con valor $T_S$ si es activa y $T_S/F$ si es pasiva, como en la Ec. (3.10.4).
• Los métodos simplificados de Bishop y de Janbu obtienen la fuerza normal en la base del equilibrio vertical de la dovela; por eso la componente vertical de la fuerza del soporte entra en ese equilibrio y su parte de rozamiento se divide por $m_\alpha$ (o $n_\alpha$), igual que el peso. Los métodos de Janbu, que equilibran el cortante a lo largo de la base, toman $T_S\sec\alpha$ en el lado desestabilizador.
• El método ordinario proyecta las fuerzas sobre la normal a la base, de modo que $T_N$ se suma directamente a la fuerza normal.
• En un círculo, los métodos con ecuación de momentos toman, en lugar de $T_S$, el momento del soporte respecto al centro dividido por el radio; un soporte tangente a la superficie de rotura tiene por brazo $R$, igual que el cortante de una base.

En una superficie de rotura plana la masa es un único bloque y los dos tratamientos tienen expresión cerrada,

donde $W$ es el peso de la cuña y $\beta,\ L$ la inclinación y la longitud del plano. Todo método que cierre el equilibrio global de fuerzas debe dar estos valores; el código fuente del programa deja constancia de que los reproducen el método ordinario, el simplificado de Janbu, los dos métodos Corps of Engineers y el de Lowe-Karafiath.

3.10.3Orientación de la fuerza#

La dirección de $F$ en la intersección se elige entre seis opciones:

• Tangent to slip surface: a lo largo de la base de la dovela atravesada, en el sentido que se opone al deslizamiento.
• Parallel to support: a lo largo del eje del soporte, de la cabeza a la cola, que es la dirección en la que tira de la masa un perno traccionado. Esta opción depende solo de la geometría: un soporte cuyo anclaje queda ladera abajo de la superficie de rotura empuja la masa, y el programa lo aplica tal como está dibujado.
• Bisector: la bisectriz de las dos direcciones anteriores.
• Horizontal: horizontal y en sentido contrario al de la rotura.
• Perpendicular to pile: perpendicular al eje del soporte, hacia el lado que se opone al deslizamiento.
• User-defined angle: con un ángulo dado respecto al semieje $x$ positivo.

Los sentidos resistentes dependen del sentido de rotura definido para el modelo (Sección 3.1.5). Cuatro tipos (el anclaje inyectado, el anclaje inyectado con rozamiento, el bulón y el anclaje helicoidal) tienen además una capacidad a cortante. Cuando no es nula, esa capacidad dividida por la separación se añade como un segundo vector, perpendicular al eje del soporte y en el lado que se opone al deslizamiento, y la resultante sustituye a la fuerza axial en la Ec. (3.10.1).

La cabeza y la cola no son intercambiables: la longitud de descabezamiento se mide desde la cabeza, la de arrancamiento desde la cola, y una fuerza paralela apunta de la cabeza a la cola. Si un soporte se dibuja con la cabeza en el terreno estable y la cola dentro de la masa deslizante, las notas del análisis lo señalan, porque dibujado al revés las tres cosas quedan invertidas y el factor de seguridad no lo delata.

3.10.4Tipos de soporte#

OGR Slip2D tiene nueve tipos de soporte. La Tabla 3.10.1 los recoge con la orientación y la aplicación que adoptan por defecto y la fuerza que cada uno aporta en la intersección.

Capacidad a lo largo de un soporte#

En los tipos que tienen modos de rotura, la fuerza disponible en la intersección es la menor de las capacidades que allí se aplican, por lo que varía con la posición de la intersección a lo largo del soporte. Para un anclaje inyectado, con una resistencia de adherencia $q_b$ por metro en una longitud adherida situada en el extremo de la cola:

donde

$L_o$

longitud adherida más allá de la intersección, hacia la cola; es toda la longitud adherida si la intersección está en la longitud libre (m)

$L_i$

longitud adherida entre la cabeza y la intersección; es nula si la intersección está en la longitud libre (m)

$T,\ P$

capacidad a tracción del tirante y capacidad de la placa de la cabeza (kN)

Los tres términos corresponden al arrancamiento de la longitud anclada, a la rotura del tirante y al descabezamiento de la masa en movimiento respecto de la placa, junto con la adherencia del lado de la cabeza. Un bulón es lo mismo, con adherencia en toda su longitud: $L_o = L - d$ y $L_i = d$. En el anclaje inyectado con rozamiento, la adherencia es la integral de una resistencia de interfaz $\tau$ sobre la superficie de un cilindro de lechada de diámetro $D$,

y en un geosintético, que moviliza las dos caras de la lámina (Berg, Christopher y Samtani, 2009), donde $A$ es el porcentaje del ancho de talud que cubren sus bandas (100 % para una lámina continua),

con $T$ la capacidad a tracción por metro de lámina, $C$ la resistencia de la conexión en el paramento, $L_i$ la longitud desde el paramento hasta la intersección y $L_o$ la longitud desde la intersección hasta el extremo embebido. Una lámina cuyo extremo embebido está anclado no puede arrancarse, y en ese caso se suprime el primer término.

Resistencia de la interfaz#

Cuando la adherencia depende de la tensión en el terreno, OGR Slip2D divide el soporte en 50 segmentos iguales, de la cabeza a la cola, una sola vez por análisis, y evalúa la resistencia de la interfaz en el punto medio de cada uno; las integrales anteriores se calculan sobre ese perfil. La tensión normal en la interfaz es la tensión vertical efectiva en el punto: el peso de la columna de suelo situada encima, más el agua embalsada y la presión vertical de las cargas distribuidas que haya sobre ella, menos la presión intersticial. Es la misma tensión que interviene en la ecuación de arrancamiento de Berg, Christopher y Samtani (2009). Se dispone de dos envolventes:

donde

$a,\ \delta$

adhesión (kPa) y ángulo de rozamiento (°) de la interfaz, es decir, la adherencia de tipo Mohr-Coulomb de Jewell (1996)

$a_\infty,\ \phi_0$

resistencia límite para tensiones normales elevadas (kPa) y ángulo de rozamiento tangente para tensión normal nula (°), según Esterhuizen, Filz y Duncan (2001)

$\sigma'_v$

tensión vertical efectiva en el punto del soporte, con valor mínimo cero (kPa)

El mismo par de valores describe dos envolventes distintas según la forma elegida: en la hiperbólica, la adhesión es el límite para tensiones elevadas, no la resistencia para tensión nula. En un geosintético, $\tau$ puede tomarse también como una fracción $C_i$ de la resistencia propia del suelo circundante, evaluada con el modelo de resistencia del material, o bien como $\tau = F^{*}\sigma'_v$, con un factor de rozamiento por arrancamiento $F^{*}$ constante o variable linealmente con la profundidad (Berg, Christopher y Samtani, 2009); el factor de efecto de escala de esa guía se incorpora multiplicándolo por $F^{*}$.

Anclajes helicoidales#

Un anclaje helicoidal lleva placas de acero a lo largo del fuste, y su capacidad cambia en escalones a medida que la intersección pasa por cada placa. La capacidad portante de una placa es la de una zapata circular sin el término del peso propio (Terzaghi, 1943), tal como la emplea Perko (2009) para las hélices:

con $A_p$ el área de la placa menos el área del fuste, $N_q$ y $N_c$ los factores de Prandtl (1921) y Reissner (1924) ($N_c \to 2 + \pi$ cuando $\phi \to 0$), y $c,\ \phi$ el par equivalente de Mohr-Coulomb del suelo en la posición de la placa, linealizado para la tensión vertical efectiva. El arrancamiento es el menor de tres mecanismos, evaluados con las placas situadas más allá de la intersección: la rotura somera, en la que se cizalla un cilindro de suelo desde la intersección hasta la placa más alejada; el corte cilíndrico entre placas más la capacidad portante de la más próxima (Mitsch y Clemence, 1985; Mooney, Adamczak y Clemence, 1985); y la suma de las capacidades portantes individuales. El descabezamiento es lo mismo, con los tres mecanismos, para las placas situadas entre la cabeza y la intersección, más la capacidad del conjunto de cabeza. La resistencia al corte en los cilindros es la propia del suelo para la tensión vertical efectiva, sin coeficiente de empuje de tierras ni de adhesión aparte.

Pilotes#

Un pilote resiste en dirección transversal a su eje. En el modo shear (cortante) aplica una fuerza constante, igual a la resistencia a cortante de su sección dividida por la separación, allí donde lo corta la superficie de rotura. En el modo Ito & Matsui la fuerza procede del suelo que fluye entre los pilotes de una fila y carga cada pilote con una fuerza lateral por unidad de espesor de capa (Ito y Matsui, 1975):

con

donde

$D_1$

separación entre ejes de los pilotes de la fila (m)

$D_2 = D_1 - d_p$

luz libre entre pilotes contiguos, con $d_p$ el diámetro del pilote (m)

$c,\ \phi$

parámetros equivalentes de Mohr-Coulomb del suelo a esa profundidad, obtenidos con la linealización que emplean los métodos

$\sigma'_v$

tensión vertical efectiva, que sustituye al $\gamma z$ del artículo original (kPa)

Si $\phi$ es inferior a $10^{-8}$ rad, el programa evalúa la solución cohesiva del mismo artículo, $p = c\left[D_1\left(3\ln\frac{D_1}{D_2} + \frac{D_1 - D_2}{D_2}\tan\frac{\pi}{8}\right) - 2(D_1 - D_2)\right] + \sigma'_v (D_1 - D_2)$, que es el límite de la Ec. (3.10.13) y evita su cancelación numérica en coma flotante. La fuerza sobre la masa deslizante, por metro de talud, es la integral de $p$ desde la parte superior del pilote hasta la intersección, dividida por la separación, tal como la expresan Cai y Ugai (2000):

donde $z_s$ es la profundidad de la intersección, medida a lo largo del pilote desde su parte superior; lo que se limita a cero es el valor de la integral, no el de cada muestra. Su resultante actúa en la intersección o en el centroide del diagrama de $p$ situado por encima. La teoría está formulada para pilotes rígidos y verticales en una capa seca, y las notas del análisis advierten cuándo un modelo se sale de ese marco: pilotes que se tocan ($D_2 \le 0$, caso en el que la fila no aplica ninguna fuerza), pilotes inclinados más de 2° respecto a la vertical (se integra a lo largo del fuste), presión intersticial a lo largo del pilote y presiones negativas cerca de la superficie (se integran tal como se publicaron).

Muro de contención (presión fluida equivalente)#

Este tipo de soporte no deduce un empuje de tierras: integra un perfil de presiones $p(s)$ definido a lo largo del muro, desde su extremo superior hasta la intersección,

donde $\gamma_e$ es la presión fluida equivalente (kN/m³) y $d$ se mide desde la coronación del muro, cualquiera que sea el extremo que se dibujó primero (Terzaghi y Peck, 1967). Hay cuatro perfiles: uniforme; triangular, nulo en la coronación; trapezoidal, nulo en ambos extremos, que crece hasta $\gamma_e L$ en una longitud $(1 - f)/2$ en cada extremo y es constante en la fracción intermedia $f$ (60 % por defecto); y una tabla personalizada de presión en función de la distancia relativa a la coronación, interpolada linealmente. Un muro es continuo, así que su fuerza ya está expresada por metro y no tiene separación; por defecto la fuerza es horizontal y activa, y puede actuar en la intersección o en el centroide del diagrama situado por encima. Un muro dibujado con los dos extremos a la misma cota no tiene coronación desde la que medir y se excluye del análisis, con una nota. El par que resulta de trasladar la resultante al centroide solo interviene en los cuatro métodos con ecuación de momentos: ordinario, Bishop, Spencer y GLE.

3.10.5Grietas de tracción#

Una grieta de tracción se dibuja como un contorno, y la zona situada por encima de él es suelo que no resiste tracciones, de modo que a lo largo de una superficie de rotura que quede dentro de esa zona no puede contarse resistencia al corte. Cuando el extremo de coronación de una superficie de rotura cae en esa zona, OGR Slip2D corta la superficie en su primera intersección con el contorno de la grieta, contando desde la coronación, y cierra la masa deslizante con una pared vertical que va desde ese punto hasta la superficie del terreno; el suelo comprendido entre la pared y la superficie de rotura conserva todo su peso (Duncan y Wright, 2005). Solo se corta el extremo de coronación, porque la grieta se forma en la cabeza del deslizamiento, donde las fuerzas entre dovelas pasan a ser de tracción, mientras que el pie trabaja a compresión. Una superficie cuya coronación cae en la zona pero que no llega nunca al contorno queda toda ella en suelo que no puede resistir, y se descarta.

El agua de la grieta empuja la pared con la resultante hidrostática

donde

$h_w$

altura del agua en la grieta, desde el contorno de la grieta en la pared hasta el nivel del agua (m)

$\gamma_w$

peso específico del agua, que es el del fluido intersticial definido en el proyecto (9.81 kN/m³ por defecto)

El empuje (Terzaghi, 1943) se aplica a la dovela más exterior, junto a la pared, y tiende a separar la masa del terreno intacto. El nivel del agua se define con una de siete opciones: seca; llena, que es la opción por defecto; llena hasta un porcentaje de la altura de la grieta; llena hasta una cota dada; llena hasta un nivel situado a una profundidad dada bajo el borde superior de la grieta; coincidente con el nivel freático; o coincidente con una línea piezométrica. El nivel se limita siempre a la altura de la grieta, y una grieta seca también trunca la superficie.

3.10.6Retroanálisis de la fuerza de soporte necesaria#

En el retroanálisis el factor de seguridad se fija en un valor objetivo $F_t$ y la incógnita es la fuerza horizontal $T$ que habría que añadir, a una cota determinada, para alcanzarlo. Con el factor fijado, las sumas resistente y desestabilizadora del método pueden evaluarse directamente, y la Ec. (3.10.2) y la Ec. (3.10.3) dan la fuerza de forma explícita, sin iterar:

donde

$R,\ D$

suma resistente del método, evaluada en $F_t$, y suma desestabilizadora

$a$

factor de brazo: en el método simplificado de Bishop sobre un círculo vale $(y_c - y_T)/R$, es decir, el brazo de momento respecto al centro de una fuerza horizontal a la cota $y_T$, dividido por el radio; en los métodos de Janbu vale 1, porque su equilibrio de fuerzas no depende del punto de aplicación de una fuerza horizontal

Como $T_{pas} = F_t\,T_{act}$, la fuerza pasiva es la mayor de las dos para cualquier objetivo superior a uno, y ambas coinciden para $F_t = 1$, identidad que comprueban los tests del programa. Los valores negativos, que corresponden a una superficie cuyo factor ya supera el objetivo, se dan como cero. Se retroanaliza cada superficie válida de la búsqueda y se indica la que necesita la mayor fuerza, junto con los dos valores. El método corregido de Janbu resuelve el factor sin corregir y lo multiplica por $f_0$, de modo que sus sumas y su fuerza se toman en $F_t/f_0$.

3.10.7Referencias#

• Berg, R.R., Christopher, B.R. & Samtani, N.C. (2009). Design and Construction of Mechanically Stabilized Earth Walls and Reinforced Soil Slopes, Vol. I. Report FHWA-NHI-10-024. Federal Highway Administration, Washington, DC.
• Cai, F. & Ugai, K. (2000). Numerical analysis of the stability of a slope reinforced with piles. Soils and Foundations, 40(1), 73–84.
• Duncan, J.M. & Wright, S.G. (2005). Soil Strength and Slope Stability. John Wiley & Sons, Hoboken, NJ.
• Esterhuizen, J.J.B., Filz, G.M. & Duncan, J.M. (2001). Constitutive behavior of geosynthetic interfaces. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 127(10), 834–840.
• Ito, T. & Matsui, T. (1975). Methods to estimate lateral force acting on stabilizing piles. Soils and Foundations, 15(4), 43–59.
• Jewell, R.A. (1996). Soil Reinforcement with Geotextiles. CIRIA Special Publication 123. CIRIA and Thomas Telford, London.
• Mitsch, M.P. & Clemence, S.P. (1985). The uplift capacity of helix anchors in sand. In Clemence, S.P. (ed.), Uplift Behavior of Anchor Foundations in Soil. ASCE, New York, 26–47.
• Mooney, J.S., Adamczak, S. & Clemence, S.P. (1985). Uplift capacity of helical anchors in clay and silt. In Clemence, S.P. (ed.), Uplift Behavior of Anchor Foundations in Soil. ASCE, New York, 48–72.
• Perko, H.A. (2009). Helical Piles: A Practical Guide to Design and Installation. John Wiley & Sons, Hoboken, NJ.
• Prandtl, L. (1921). Über die Eindringungsfestigkeit (Härte) plastischer Baustoffe und die Festigkeit von Schneiden. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 1(1), 15–20.
• Reissner, H. (1924). Zum Erddruckproblem. Proceedings of the First International Congress for Applied Mechanics, Delft, 295–311.
• Terzaghi, K. (1943). Theoretical Soil Mechanics. John Wiley & Sons, New York.
• Terzaghi, K. & Peck, R.B. (1967). Soil Mechanics in Engineering Practice, 2nd ed. John Wiley & Sons, New York.
• Ukritchon, B. & Keawsawasvong, S. (2017). Error in Ito and Matsui's limit-equilibrium solution of lateral force on a row of stabilizing piles. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 143(9), 02817004.