Casos de referencia de equilibrio límite

Siete casos publicados se ejecutan con OGR Slip2D 0.1.235 igual que los ejecuta la batería de tests. La referencia de cada caso es un valor publicado, y su tolerancia depende de la precisión de esa fuente (Sección 4.1.4).

Los casos están en la carpeta validacion/casos/ del repositorio. Cada uno contiene el modelo (modelo.ogr), los valores esperados con su fuente y su tolerancia (esperado.json) y una descripción (caso.md). La numeración sigue el orden en que se añadieron los casos.

4.2.1Los siete casos de un vistazo#

La Tabla 4.2.1 enumera los casos y la Figura 4.2.1 muestra, para cada método de cada caso, la diferencia con el valor de referencia comparada con la banda de tolerancia del caso. Las secciones siguientes describen cada caso con detalle.

4.2.2Caso 001 · ACADS 1(a): talud homogéneo, tensiones totales#

Problema 1(a) del estudio de Giam y Donald (1989): un talud homogéneo analizado en tensiones totales, sin presión intersticial, para el que el estudio pide el factor de seguridad y la superficie circular crítica. Treinta y tres programas lo resolvieron de forma independiente, y el informe da tres cifras: un valor del árbitro de 1.00, la media de los 33 programas, 0.991, y el valor medio de Bishop de 18 programas, 0.993. El caso toma como referencia, para los dos métodos que declara, la media de los 33 programas, que es el valor con respaldo estadístico y no recoge el resultado de ningún programa en particular. La tolerancia es del 2.0 %: el valor del árbitro y la media difieren entre sí en un 0.9 %, y exigir un 0.5 % requeriría de la fuente una precisión que no tiene.

Qué comprueba. La búsqueda: hay que encontrar el círculo crítico, y una búsqueda que no lo encontrara daría un factor de seguridad mayor. Todas las coordenadas proceden del texto del enunciado y ninguna se toma de una figura. Spencer y GLE / Morgenstern-Price no se declaran, porque el estudio da un valor medio de Bishop y una media de todos los programas, pero ningún valor para un método riguroso.

4.2.3Caso 002 · Yamagami & Ueta (1988): talud homogéneo#

Un talud homogéneo sin presión intersticial, tomado del artículo de Yamagami y Ueta (1988) sobre la búsqueda de superficies de rotura no circulares con el método de Morgenstern-Price. Los autores publican un factor de seguridad de 1.348 con el método simplificado de Bishop y otro de 1.282 con el método ordinario (Fellenius), y el caso declara ambos. Son valores calculados y publicados por los autores, y no una media entre programas que discrepan, por lo que su tolerancia, del 1.5 %, es más estrecha que el 2.0 % de los casos 001 y 007.

Qué comprueba. Dos métodos a la vez. Los dos valores publicados se diferencian en un 4.9 % del valor de Bishop, así que al reproducir ambos se fija también la diferencia entre ellos, y no solo su nivel. El caso ejecuta una Grid Search de superficies circulares, por lo que comprueba también la búsqueda. Las coordenadas están indicadas en la figura que documenta el problema, y no ha hecho falta medir ninguna dimensión a escala sobre un dibujo.

4.2.4Caso 003 · ACADS 1(c): tres capas#

Problema 1(c) del mismo estudio (Giam y Donald, 1989), la versión estratificada del caso 001. El informe da un valor del árbitro de 1.39, el valor medio de Bishop de 16 programas, 1.406, y la media de 31 programas, 1.381. El caso usa la media de Bishop, que tiene respaldo estadístico y corresponde al método; la tolerancia, del 1.5 %, cubre el 1.1 % que la separa del valor del árbitro.

Qué comprueba. Las regiones y la asignación de materiales: el talud tiene tres, con resistencias distintas. Las coordenadas están en el texto del enunciado, y solo la forma en que se conectan las dos líneas de material se ha tomado de un dibujo. Acompañan al caso dos comprobaciones. La primera parte de un círculo crítico de este problema, publicado en el manual de verificación de un programa, con centro (34.121, 43.254) y puntos de entrada y salida en x = 29.702 y x = 50.991: ambos puntos están a 18.781 del centro, lo que fija un radio que la figura deja ambiguo; colocado sobre la geometría del caso, ese círculo corta el terreno en x = 29.703 y x = 50.991, es decir, con una diferencia de un milímetro. La segunda es que el método de Bishop, aplicado a ese mismo círculo, da un factor de seguridad a menos del 1 % del valor de Bishop publicado, comprobación que depende de las capas que atraviesa el círculo.

4.2.5Caso 004 · Arai & Tagyo (1985), ejemplo 1: un talud alto y empinado#

Ejemplo 1 de Arai y Tagyo (1985): un talud homogéneo sin presión intersticial, de 20 m de altura con pendiente 1V:1.5H, para el que el artículo da un factor de seguridad de Bishop simplificado de 1.451. Junto con el caso 005, es el único con un talud tan alto y tan empinado, por lo que un error que crezca con la altura o con la inclinación se manifestaría aquí en primer lugar. Las coordenadas están indicadas en la figura del problema.

4.2.6Caso 005 · Arai & Tagyo (1985), ejemplo 3: el mismo talud con agua#

Ejemplo 3 de Arai y Tagyo (1985): el talud del ejemplo 1 con un nivel freático, para el que el artículo da un factor de seguridad de Bishop simplificado de 1.138. Los dos casos comparten el contorno externo y el material, de modo que cualquier diferencia entre ellos se debe a la presión intersticial. La tolerancia es del 2.5 %, por la misma razón que en el caso 004: el valor de 1985 y los reanálisis anotados en el archivo del caso difieren en un 1.9 %.

Qué comprueba. El agua. Es el único caso con presión intersticial: un error en el cálculo de $u$ podría pasar inadvertido en los otros seis casos y aquí quedaría a la vista. La presión es hidrostática por debajo del nivel freático y nula por encima, con el peso específico del fluido intersticial del proyecto, 9.81 kN/m³. Las coordenadas, incluido el nivel freático, están indicadas en la figura del problema. El caso declara solo el valor de Bishop, que es el que toma del artículo.

La nota del caso 004 vale también aquí: el valor obtenido queda un 1.58 % por debajo del publicado, dentro del 2.5 % que el caso admite para la diferencia conocida entre el valor de 1985 y los reanálisis modernos.

4.2.7Caso 006 · Ejemplo de refuerzo (1999): el filtro de profundidad mínima#

Es el ejemplo de retroanálisis de refuerzo del manual de referencia de un programa de estabilidad de taludes, publicado en 1999; el caso se llama Ejemplo de refuerzo (1999), como en la página de Verificación. Se trata de un talud sin cohesión con una carga distribuida en la coronación, y se pide la fuerza de refuerzo que lleva el talud a un factor de seguridad de 1.5, a partir del factor sin refuerzo, 0.764, hallado sobre el círculo de centro (−11.41, 35.264) y radio 34.426 m. El enunciado añade dos condiciones: solo se consideran superficies de rotura con una profundidad mínima de 2 m, y se coloca un punto de foco en el pie, de modo que solo se consideran los círculos que pasan por él. La fuente no figura en la bibliografía.

Qué comprueba. Que el filtro de profundidad mínima llega al motor de cálculo. Es el único caso que pone a prueba un filtro de superficies: los demás comprueban métodos y búsquedas, y ninguno verificaba que un ajuste del filtro de superficies llegara al análisis, algo que durante muchas versiones no ocurría. La condición forma parte del enunciado y no es un detalle de la solución: sin ella el problema no tiene la respuesta publicada. El archivo del caso anota que, con el mismo modelo y el filtro desactivado, el mínimo cae sobre una lámina delgada de 0.669 m de espesor en la cara del talud, con su centro en el borde de la rejilla. Si el filtro dejara de llegar al motor de cálculo, este caso fallaría: en la versión 0.1.235, la Grid Search del modelo con el filtro desactivado da 0.7277, con centro en (−20.0, 45.6), que queda un 4.7 % por debajo del valor publicado y fuera de la tolerancia.

Dos de las tres cifras del material no están publicadas. El ángulo de rozamiento se deduce, no se supone: el ejemplo publica un factor $F_{\mathrm{r}} = 1.960$ junto con un ángulo de rozamiento de 54.93° para el material reforzado, relacionados mediante $\tan\phi'_{\mathrm{r}} = F_{\mathrm{r}}\tan\phi'$, y un ángulo de rozamiento de 36° da $\arctan(1.960\,\tan 36^\circ) = 54.92^\circ$. Un segundo par de valores del manual, 2.044 y 56.04°, es coherente con ese ángulo: $\arctan(2.044\,\tan 36^\circ) = 56.04^\circ$. Un único ángulo de rozamiento satisface dos ecuaciones independientes. El peso específico, 20 kN/m³, no puede deducirse y se adopta a sabiendas: sin cohesión, el factor de seguridad apenas depende de él. El archivo del caso recoge que, sobre el círculo publicado, un peso específico de 16 a 22 kN/m³ hace variar el factor entre 0.7595 y 0.7668, en torno a un 1 % en total, y esa es la razón de que la tolerancia sea del 1.0 % y no más estrecha.

4.2.8Caso 007 · ACADS 2(b): la presa de Talbingo sobre un círculo dado#

Problema 2(b) del estudio de Giam y Donald (1989): la presa de Talbingo, con cuatro materiales, al final de la construcción, sobre un círculo que da el enunciado: centro (100.3, 291.0) y radio 278.8 m. El informe da un valor del árbitro de 2.29, un valor medio de Bishop de 11 programas, 2.204, y una media de 24 programas, 2.239. El caso compara Bishop con su propia media, 2.204, y Spencer y GLE / Morgenstern-Price con el valor del árbitro, 2.29. La tolerancia es del 2.0 %: el valor del árbitro y la media de los 24 programas difieren en un 2.2 %, y una tolerancia más estrecha exigiría a la fuente una precisión que no tiene.

Qué comprueba. Los métodos por sí solos. El círculo viene dado, así que no hay búsqueda y la cifra mide el método. Además, las dos referencias publicadas difieren en un 3.9 %, porque Bishop tiene su propia media y el valor del árbitro es el del problema: un método de equilibrio completo que diera el valor de Bishop fallaría. Es el único caso que permite distinguir un método riguroso del de Bishop con una cifra publicada, y la razón por la que se añadió (Sección 4.1.5).

Las coordenadas de los 26 puntos de la sección están tabuladas en el enunciado del problema, y la forma en que se conectan se tomó de sus dibujos. La escollera, la transición y el filtro tienen los mismos parámetros, por lo que, de las cinco líneas interiores, solo las dos que delimitan el núcleo pueden afectar al resultado, y esas no ofrecen ambigüedad.

El archivo del caso no dice de dónde procede el valor de referencia de Janbu corregido, 2.073; se muestra tal como lo declara el caso.

4.2.9Comprobaciones de los métodos sobre superficies dadas#

Además de los siete casos, la batería de tests comprueba los métodos de equilibrio sobre superficies fijadas de antemano y no buscadas, de modo que el resultado no depende de ninguna búsqueda. Aquí se describen dos de esas comprobaciones: un ejemplo resuelto publicado y un conjunto de identidades exactas.

Un ejemplo resuelto publicado: el Apéndice G de EM 1110-2-1902#

Los métodos Corps of Engineers y el método de Lowe-Karafiath comparten una misma recursión para las fuerzas entre dovelas (Sección 3.2.7). Se comprueba dovela a dovela con el ejemplo resuelto de desembalse rápido del Apéndice G de USACE (2003), cuyas Figuras G-7a, G-7b y G-9 recogen la tabla completa de sus doce dovelas: la fuerza entre dovelas, la fuerza normal en la base y el factor de seguridad. En la primera etapa, las dovelas tienen $c' = 0$ y $\phi' = 30^\circ$, con presión intersticial en las bases y una carga de agua en la parte superior; en la segunda se comportan sin drenaje ($\phi = 0$, con cohesión). El manual publica $F = 3.49$ para la primera etapa y $F = 1.35$ para la segunda. Como el manual indica que sus cifras se redondearon en las tablas, las tolerancias son fracciones de la escala de cada columna y no de cada valor.

La inclinación de las fuerzas entre dovelas es la única magnitud del ejemplo que no aparece en las tablas, y la comprobación muestra que los datos la determinan: con fuerzas entre dovelas horizontales, las mismas dovelas no cierran cerca de la columna publicada, y el test exige que el residuo de la última dovela supere el 20 % de la escala. Las reglas que dan la inclinación en cada método se comprueban como simple geometría: en Corps of Engineers #1 es constante e igual a la inclinación de la cuerda de la superficie de rotura; en el #2 es la pendiente del terreno sobre cada dovela, y por tanto es horizontal bajo una coronación plana; ambas coinciden con la geometría hasta 10⁻¹². También se cumple la identidad que cita el propio manual: con fuerzas entre dovelas horizontales, la recursión reproduce el método simplificado de Janbu (Janbu, 1973) con una diferencia inferior al 0.5 %.

Identidades exactas de Spencer y GLE#

El sistema de fuerzas entre dovelas del método de Spencer (Spencer, 1967) y del método GLE / Morgenstern-Price (Morgenstern y Price, 1965) tiene referencias exactas, es decir, casos en los que su resultado debe coincidir con el de otro método en todas las cifras, y cuatro tests se basan en ellas. Se escribieron después del defecto descrito en la Sección 4.1.5, que ningún factor de seguridad podía revelar porque el valor de Bishop es plausible. Dos de ellos siguen a Fredlund y Krahn (1977): con $\lambda = 0$ las fuerzas entre dovelas son horizontales, no hay fuerza tangencial entre dovelas y cada rama de la solución se reduce a un método que el programa ya tiene.

Las tolerancias son relativas al factor de seguridad del otro método. I3 es la más exigente, porque la recursión con la que se compara es la que se comprobó con el ejemplo resuelto anterior, con lo que la rama de fuerzas de Spencer queda respaldada por un caso resuelto a mano en un manual publicado. El modelo es la geometría y el material de ACADS 1(a) ($c' = 3.0$ kPa, $\phi' = 19.6^\circ$, $\gamma = 20.0$ kN/m³), un círculo elegido a mano, de centro (33, 52) y radio 28 m, y 25 dovelas. Cada una de las identidades I1 a I3 se comprueba en tres situaciones: en seco, con una línea piezométrica que pasa por (20, 23), (45, 27) y (70, 31) y $H_u = 1$, y con un coeficiente sísmico horizontal de 0.15. Otro test comprueba que $\lambda$ modifica el resultado, algo que las identidades, enunciadas con $\lambda = 0$ o entre dos ramas de fuerzas, no podrían hacer por sí solas: la rama de momentos con $\lambda = 0.5$ difiere de la de $\lambda = 0$ en más de 10⁻³.

4.2.10Referencias#

• Arai, K. & Tagyo, K. (1985). Determination of noncircular slip surface giving the minimum factor of safety in slope stability analysis. Soils and Foundations, 25(1), 43–51.
• Bishop, A.W. (1955). The use of the slip circle in the stability analysis of slopes. Géotechnique, 5(1), 7–17.
• Fredlund, D.G. & Krahn, J. (1977). Comparison of slope stability methods of analysis. Canadian Geotechnical Journal, 14(3), 429–439.
• Giam, S.K. & Donald, I.B. (1989). Example Problems for Testing Soil Slope Stability Programs. Civil Engineering Research Report No. 8/1989, Monash University, Melbourne.
• Janbu, N. (1973). Slope stability computations. In Hirschfeld, R.C. & Poulos, S.J. (eds), Embankment-Dam Engineering: Casagrande Volume. John Wiley & Sons, New York, 47–86.
• Morgenstern, N.R. & Price, V.E. (1965). The analysis of the stability of general slip surfaces. Géotechnique, 15(1), 79–93.
• Spencer, E. (1967). A method of analysis of the stability of embankments assuming parallel inter-slice forces. Géotechnique, 17(1), 11–26.
• U.S. Army Corps of Engineers (2003). Engineering and Design: Slope Stability. Engineer Manual EM 1110-2-1902. Department of the Army, Washington, DC.
• Yamagami, T. & Ueta, Y. (1988). Search for noncircular slip surfaces by the Morgenstern–Price method. Proceedings of the 6th International Conference on Numerical Methods in Geomechanics, Innsbruck, 1335–1340.