Análisis sísmico — documentación de OGR Slip2D

Un terremoto somete un talud a fuerzas de inercia que cambian de sentido muchas veces por segundo. OGR Slip2D lo analiza en tres niveles de detalle creciente: el método pseudoestático, que sustituye la sacudida por fuerzas de volumen constantes y da un factor de seguridad; el coeficiente sísmico de fluencia $K_y$ , que es el coeficiente horizontal que lleva cada superficie a un factor de seguridad objetivo; y el bloque rígido deslizante de Newmark, que integra un registro de aceleraciones por encima de ese coeficiente para estimar el desplazamiento permanente.

3.9.1El método pseudoestático#

El método pseudoestático, que Terzaghi (1950) aplicó a los deslizamientos, representa el terremoto mediante dos fuerzas de volumen proporcionales al peso de la masa deslizante, una horizontal y otra vertical, cuyos coeficientes son aceleraciones expresadas como fracciones de $g$ (Kramer, 1996). En el método de dovelas, cada dovela recibe la parte que le corresponde:

F_h = k_h\,W_s, \qquad F_v = k_v\,W_s

donde

$W_s$: peso del suelo de la dovela, es decir, su peso estático, calculado con los pesos específicos de los tramos de su columna (kN/m)
$k_h$: coeficiente sísmico horizontal, un módulo, $0 \le k_h < 1$ (—)
$k_v$: coeficiente sísmico vertical, positivo hacia abajo, $|k_v| < 1$ (—)

Cuatro convenios determinan cómo intervienen estas fuerzas en el equilibrio de cada método de OGR Slip2D.

Las fuerzas actúan solo sobre el suelo. Los coeficientes multiplican el peso del suelo de la dovela. Una carga distribuida o lineal se aplica en la superficie del terreno y aquí no genera fuerza de inercia; el agua embalsada, que no tiene resistencia al corte, tampoco la genera. Si la inercia de un relleno es importante, hay que dibujarlo como un material.
Un $k_v$ positivo actúa hacia abajo. La carga vertical que soporta la base de una dovela es entonces
$W' = W_s\,(1 + k_v) + Q_v + W_w$
siendo $Q_v$ la componente vertical de las cargas exteriores sobre la dovela y $W_w$ el peso del agua embalsada que tiene encima; un $k_v$ negativo aligera la dovela.
La fuerza horizontal siempre empuja la masa hacia fuera del talud. $k_h$ es un módulo: cada método aplica $k_h W_s$ en el sentido del deslizamiento de la superficie que analiza, por lo que un signo introducido en el coeficiente no puede invertir la fuerza, y un valor negativo se rechaza.
La fuerza horizontal es proporcional al peso estático, y no a $W_s(1 + k_v)$ : las aceleraciones horizontal y vertical de una masa son componentes independientes. Actúa a media altura de la dovela, $y_g = \tfrac12(\bar y_{top} + \bar y_{base})$ , que es el centroide de una columna rectangular; esa cota solo influye en los métodos que plantean una ecuación de momentos.

Figura 3.9.1 Fuerzas de volumen pseudoestáticas sobre una dovela, tal como las aplica OGR Slip2D: el peso del suelo

W_s

, la fuerza vertical

k_v W_s

(dibujada para

k_v > 0

, hacia abajo) y la fuerza horizontal

k_h W_s

a media altura, en el sentido del deslizamiento. La sobrecarga

q

sobre la dovela no genera fuerza sísmica. No se han dibujado las fuerzas en la base ni las fuerzas entre dovelas.

Una expresión cerrada: la cuña plana#

En una superficie de rotura plana, la masa deslizante es un único cuerpo libre y las fuerzas entre dovelas se anulan al sumar, por lo que el factor de seguridad pseudoestático de una cuña seca tiene una expresión cerrada (Kramer, 1996):

F = \dfrac{c'L + \left[W(1+k_v)\cos\beta - k_h W \sin\beta\right]\tan\phi'}{W(1+k_v)\sin\beta + k_h W\cos\beta}

donde

$W$: peso de la cuña (kN/m)
$\beta,\ L$: inclinación (°) y longitud (m) del plano de rotura
$c',\ \phi'$: cohesión efectiva (kPa) y ángulo de rozamiento (°) en el plano

Los métodos que cumplen el equilibrio global de fuerzas (el método simplificado de Janbu, los dos métodos Corps of Engineers y el de Lowe-Karafiath; Sección 3.2) reproducen la Ec. (3.9.3) dentro de la tolerancia de su resolución numérica, para los dos signos de $k_v$ , con y sin $k_h$ . Los tests del programa la usan como referencia externa de los convenios enumerados arriba.

Limitación

En esa misma cuña plana con $k_h > 0$ , el método de Spencer y el GLE / Morgenstern-Price terminan en el extremo de su intervalo de $\lambda$ y se desvían de la expresión cerrada en torno a un 2 % en la cuña de prueba del programa. Los tests del programa lo recogen como asunto abierto D143 y no comprueban esos dos métodos en ese caso; en un mecanismo plano con carga sísmica, contrástalos con un método de equilibrio de fuerzas.

Cómo incorporan los métodos las fuerzas sísmicas#

Cada método añade las dos fuerzas a sus propias ecuaciones de equilibrio. Por ejemplo, en el método simplificado de Bishop sobre una superficie circular, la fuerza vertical se suma al peso en los dos términos del cociente y la fuerza horizontal aporta su momento respecto al centro al lado desestabilizador:

F = \dfrac{\sum \left[c'b + (W' - u\,b)\tan\phi'\right]/m_\alpha}{\sum \left[W'\,\dfrac{x - x_c}{R} + k_h W_s\,\dfrac{y_c - y_g}{R}\right]}, \qquad m_\alpha = \cos\alpha + \dfrac{\sin\alpha\tan\phi'}{F}

donde

$W'$: carga vertical en la base de la dovela, Ec. (3.9.2) (kN/m)
$(x_c,\ y_c),\ R$: centro y radio del círculo (m)
$x,\ y_g$: abscisa de la dovela y cota de su punto a media altura (m); $(x - x_c)/R$ es $\sin\alpha$ en la propia abscisa de la dovela, y el programa toma este brazo de la geometría
$b,\ u,\ \alpha$: anchura de la dovela (m), presión intersticial en su base (kPa) e inclinación de la base (°)

La expresión está escrita para el sentido de deslizamiento en que $\sum W'(x - x_c)/R$ es positivo (el programa deduce el sentido del signo de la suma desestabilizadora) y para un talud sin agua embalsada, soportes ni grieta de tracción, cuyos términos entran en las mismas sumas. Las ecuaciones de cada método se desarrollan en la Sección 3.2.

En OGR Slip2D

Los coeficientes se introducen en Loading → Seismic Load, con la casilla Apply seismic load to compute. El cuadro de diálogo admite $k_h$ de 0 a 0.999 y $k_v$ de −0.999 a 0.999, con tres decimales; la regla subyacente, que también aplica la API, rechaza $|k| \ge 1$ (con $k_v = -1$ el suelo no tendría peso) y un $k_h$ negativo. Los nueve métodos obtienen las fuerzas de una sola función, por lo que no pueden aplicar convenios distintos. Si la carga sísmica está marcada para generar exceso de presión intersticial (una opción que se guarda con la carga y se puede fijar desde la API) y el método B̄ está activado, el coeficiente vertical añade además a $\Delta\sigma_v$ el producto de $k_v$ por la tensión vertical de los tramos de suelo definidos para cargar el terreno situado debajo (Skempton, 1954); $k_h$ nunca lo hace, porque no modifica ninguna tensión vertical (Sección 3.6).

Código: ogr_slip2d/external_forces.py · ogr_core/loads/loads.py · ogr_core/project/rules.py

OGR Slip2D toma $k_h$ y $k_v$ como datos. Elegirlos, y fijar el factor de seguridad que debe alcanzar un análisis pseudoestático, es una decisión de proyecto: normas como la UNE-EN 1998-5 obtienen los coeficientes a partir de la aceleración de cálculo del terreno en el emplazamiento (CEN, 2004).

3.9.2El coeficiente sísmico de fluencia#

Un factor de seguridad pseudoestático solo vale para el coeficiente elegido. El análisis también puede invertirse, buscando el coeficiente horizontal que lleva una superficie al límite. Ese coeficiente es el coeficiente sísmico de fluencia, o crítico, $K_y$ , y $a_c = K_y\,g$ es la aceleración a partir de la cual una masa rígida deslizante empieza a moverse (Newmark, 1965). OGR Slip2D lo obtiene por la primera de las dos vías que recoge Jibson (1993): repite el análisis de equilibrio límite de cada superficie con distintos coeficientes horizontales hasta que el factor de seguridad alcanza el valor objetivo:

F(K_y) = F_t, \qquad K_y = \min\,\{\,k_h \ge 0 : F(k_h) \le F_t\,\}

donde

$F(k_h)$: factor de seguridad de la superficie con el coeficiente horizontal $k_h$ , calculado con el método del análisis y con el $k_v$ del proyecto
$F_t$: factor de seguridad objetivo, 1.0 por defecto

La segunda vía, $a_c = (F - 1)\,g\sin\alpha$ con $\alpha$ el ángulo de empuje (Newmark, 1965), no se usa, porque sustituye el equilibrio de toda la masa por un único ángulo. La búsqueda de $K_y$ procede así.

Si $F(0) \le F_t$ , la superficie alcanza el objetivo sin necesidad de ningún terremoto y $K_y = 0$ .
En caso contrario, $k_h$ aumenta desde cero en pasos de 0.05. Después de cada resolución, una secante por los dos últimos puntos predice el cruce, y el siguiente coeficiente puede avanzar hacia él como máximo dos pasos, de modo que no se pueda saltar el primer cruce. Un coeficiente para el que el método no devuelve ningún factor de seguridad se omite y no se toma como cruce.
El primer coeficiente con $F \le F_t$ cierra un intervalo, que la variante de Illinois de la regula falsi (Dowell y Jarratt, 1971) va estrechando hasta que $|F - F_t| \le 10^{-7}$ o la anchura del intervalo es menor que $10^{-5}$ . El valor que se toma es el extremo superior del intervalo final, donde $F \le F_t$ .
Si ningún coeficiente hasta 1.0 alcanza el objetivo, la superficie no tiene $K_y$ . Una superficie requiere como máximo 40 resoluciones.

Figura 3.9.2 Búsqueda de

K_y

en un plano de 40° que atraviesa un talud de 12 m inclinado 56.3° (

c' = 15

kPa,

\phi' = 30°

\gamma = 18

kN/m³), resuelta con el método simplificado de Janbu, que en este plano reproduce la Ec. (3.9.3). Los puntos 1–3 son el barrido ascendente, con un salto de secante de dos pasos en el segundo; los puntos 4–7 afinan el intervalo [0.15, 0.20].

F(0) = 1.328

procede del propio análisis, y

K_y = 0.1855

exige siete resoluciones más. Cálculo realizado con OGR Slip2D 0.1.235.

En OGR Slip2D

$K_y$ se activa en Analysis → Project Settings → Seismic (Compute Ky for all surfaces, con el Target factor of safety). Se calcula para cada superficie que evalúa la búsqueda, con el mismo método que el factor de seguridad, y la búsqueda ordena después las superficies según su valor: la superficie crítica que se muestra en los resultados es la de menor $K_y$ , que en general no coincide con la de menor factor de seguridad. Las superficies sin ningún $K_y$ inferior a 1.0 quedan fuera de la ordenación, y las notas del análisis las cuentan. El $k_v$ del proyecto se sigue aplicando durante el cálculo; un $k_h$ fijado en Loading → Seismic Load se sustituye por el coeficiente de prueba, no se suma a él, y las notas lo indican. Las dovelas se cortan una vez por superficie y se reutilizan con cada coeficiente de prueba, porque la división en dovelas no depende de los coeficientes sísmicos.

Código: ogr_slip2d/yield_acceleration.py · ogr_slip2d/search.py · ogr_core/project/settings.py

3.9.3El bloque deslizante de Newmark#

Newmark (1965) modeló la masa deslizante como un bloque rígido-plástico: se mueve solidario con el terreno mientras la aceleración de este se mantiene por debajo de $a_c$ , y desliza respecto a él cuando la aceleración la supera. Mientras el bloque desliza, su aceleración relativa al terreno es

\ddot{u}(t) = a(t) - a_c, \qquad a_c = K_y\,g

donde

$a(t)$: aceleración horizontal del terreno según el registro, positiva en el sentido que empuja el bloque talud abajo
$u,\ \dot u,\ \ddot u$: desplazamiento, velocidad y aceleración del bloque relativos al terreno

y el desplazamiento permanente es la doble integral de $\ddot u$ durante el tiempo en que el bloque desliza. OGR Slip2D la calcula paso a paso con el esquema de Wilson y Keefer (1983), tal como lo publica Jibson (1993). Las dos integraciones son trapezoidales, porque con un paso de tiempo dado una cuadratura distinta da un resultado distinto:

\dot u_i = \dot u_{i-1} + \dfrac{\Delta t}{2}\left(\ddot u_i + \ddot u_{i-1}\right)

u_i = u_{i-1} + \dfrac{\Delta t}{2}\left(\dot u_i + \dot u_{i-1}\right)

siendo $\Delta t$ el intervalo de muestreo del registro. El esquema se completa con tres reglas.

Inicio. Un bloque en reposo (velocidad relativa inferior a $10^{-4}$ cm/s) solo empieza a deslizar cuando $a(t)$ supera a $a_c$ ; en caso contrario, $\ddot u = 0$ .
Deslizamiento. La resistencia actúa en la dirección del deslizamiento, $\ddot u = a - a_c$ , de modo que el bloque se frena cuando $a(t)$ cae por debajo de $a_c$ y sigue moviéndose por su propia inercia.
Parada. Cuando $\dot u_i \le 0$ , el bloque vuelve a quedar solidario con el terreno: $\dot u_i$ y $\ddot u_i$ se hacen cero.

Por defecto se excluye el movimiento talud arriba, de acuerdo con la hipótesis de Newmark de que la resistencia al deslizamiento en ese sentido es muy grande. Si se permite el desplazamiento talud arriba, el programa integra un bloque simétrico de dos sentidos, con el mismo $a_c$ en ambos, y da el desplazamiento neto, que puede ser negativo. La variante de dos sentidos de Wilson y Keefer, que asigna al sentido talud arriba una aceleración crítica mayor mediante el ángulo de empuje, necesita un dato del que el programa no dispone y no está implementada.

Un registro es una aceleración con signo, y cuál de los dos signos empuja el talud depende de cómo estuviera orientado el instrumento. Hay cuatro opciones para resolverlo: el registro tal como se grabó (polaridad directa), el registro con el signo cambiado (polaridad inversa), la media de los dos desplazamientos, o el mayor de los dos, que es la opción por defecto. Un factor de escala multiplica las aceleraciones del registro y deja $a_c$ sin cambios.

Figura 3.9.3 Integración del bloque rígido para un registro sintético (sinusoides amortiguadas con un pico de 0.25 g) por encima de

a_c = 0.15\,g

. Arriba: las partes sombreadas del registro superan

a_c

. En el centro: la velocidad relativa sigue creciendo mientras

a > a_c

y después decae hasta cero. Abajo: el desplazamiento se acumula por escalones, 3.4 cm con la polaridad directa; la polaridad inversa da 4.4 cm, por lo que la opción por defecto, la mayor de las dos, da 4.4 cm. Integrada con OGR Slip2D 0.1.235,

\Delta t = 0.01

En OGR Slip2D

La opción Newmark displacements, en Analysis → Project Settings → Seismic, activa también el cálculo de $K_y$ e integra el registro elegido para cada superficie que tiene un $K_y$ . Como el desplazamiento de un bloque rígido nunca aumenta al aumentar $a_c$ , la superficie que se muestra como crítica, la de menor $K_y$ , es la que más se desplaza. La página ofrece el registro, Displacements computed using (por defecto el máximo de ambas polaridades; también directa, inversa o media), Allow upslope displacement (desactivado por defecto) y Scale record by a factor of (1 por defecto). Los cálculos se hacen en cm/s² y cm, con $g = 980.665$ cm/s², como en el esquema publicado, y el resultado se da en metros. Si no hay ningún registro seleccionado, o el registro no se puede integrar, el análisis lo indica en sus notas y no calcula ningún desplazamiento.

Código: ogr_slip2d/newmark.py · ogr_slip2d/analysis_runner.py

3.9.4Registros de aceleraciones#

Los registros se introducen en Loading → Seismic Records desde un archivo de texto plano, en cualquiera de los dos formatos que Jibson (1993) cita como entrada de una integración de Newmark. El formato de un archivo se reconoce por el número de valores de su primera línea de datos.

Pares de tiempo y aceleración, un par por línea. El intervalo se toma de los dos primeros tiempos; un registro cuyo paso se aparta de él en más de $10^{-6}$ del intervalo se importa con una nota, porque la integración supone un paso constante y el programa no lo remuestrea. Se rechaza una columna de tiempos que no sea creciente.
Una sola columna de aceleraciones con intervalo constante, que en ese caso hay que indicar.

Se ignoran las líneas en blanco, las que empiezan por #, ; o % y las que no se leen como números, por lo que un archivo puede conservar su cabecera; las comas se leen como separadores. Los valores pueden estar en g, cm/s² o m/s². Se convierten a g al importar y se guardan en g dentro del archivo del proyecto, así que cada proyecto lleva consigo sus propios registros. Un registro es utilizable si tiene al menos dos muestras, un intervalo positivo y valores finitos; su duración es $(n - 1)\,\Delta t$ para $n$ muestras, y su aceleración máxima del terreno es el mayor valor de $|a|$ .

En OGR Slip2D

Si se elimina un registro que estaba seleccionado en la configuración de Newmark, la selección queda vacía, de modo que el siguiente cálculo avisa de que no hay ningún registro elegido en vez de integrar uno que ya no existe.

Código: ogr_core/loads/seismic_record.py · ogr_core/project/rules.py

3.9.5Limitaciones#

Una fuerza constante para una carga transitoria. El método pseudoestático sustituye unos segundos de aceleración oscilante por un único coeficiente constante. Su factor de seguridad indica si la masa resiste ese coeficiente, no cuánto se mueve cuando no lo resiste (Kramer, 1996).
Un bloque rígido con un $K_y$ constante. $K_y$ se calcula una sola vez, con las resistencias y las presiones intersticiales del modelo, y se mantiene constante durante todo el registro. Quedan fuera del modelo la pérdida de resistencia o el aumento de presión intersticial durante la sacudida y la respuesta dinámica del propio talud.
Un solo registro horizontal. La componente vertical del movimiento del terreno no se integra; el $k_v$ del proyecto, si lo hay, solo interviene en el cálculo de $K_y$ .

3.9.6Referencias#

CEN (2004). EN 1998-5:2004, Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance — Part 5: Foundations, retaining structures and geotechnical aspects. European Committee for Standardization, Brussels.
Dowell, M. & Jarratt, P. (1971). A modified regula falsi method for computing the root of an equation. BIT Numerical Mathematics, 11(2), 168–174.
Jibson, R.W. (1993). Predicting earthquake-induced landslide displacements using Newmark's sliding block analysis. Transportation Research Record, 1411, 9–17.
Kramer, S.L. (1996). Geotechnical Earthquake Engineering. Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ.
Newmark, N.M. (1965). Effects of earthquakes on dams and embankments. Géotechnique, 15(2), 139–160.
Skempton, A.W. (1954). The pore-pressure coefficients A and B. Géotechnique, 4(4), 143–147.
Terzaghi, K. (1950). Mechanism of landslides. In Paige, S. (ed.), Application of Geology to Engineering Practice (Berkey Volume). Geological Society of America, New York, 83–123.
Wilson, R.C. & Keefer, D.K. (1983). Dynamic analysis of a slope failure from the 6 August 1979 Coyote Lake, California, earthquake. Bulletin of the Seismological Society of America, 73(3), 863–877.