Equilibrio límite y factor de seguridad — documentación de OGR Slip2D

Un análisis de equilibrio límite se reduce a una sola pregunta sobre una superficie de rotura potencial: ¿cuánto tendría que disminuir la resistencia al corte del terreno para que la masa situada sobre ella estuviera a punto de deslizar? La respuesta es el factor de seguridad. OGR Slip2D lo calcula con el método de dovelas, que divide la masa deslizante en dovelas verticales; el problema queda entonces hiperestático, y cada método de dovelas lo cierra con una hipótesis propia sobre las fuerzas entre dovelas.

3.1.1El factor de seguridad#

El factor de seguridad $F$ de una superficie de rotura es el número por el que hay que dividir la resistencia al corte del suelo para que la resistencia que queda, la resistencia al corte movilizada, sea justo la necesaria para mantener en equilibrio la masa deslizante (Bishop, 1955). Para un suelo que cumple el criterio de Mohr-Coulomb en tensiones efectivas, la tensión tangencial movilizada en cualquier punto de la superficie viene dada por

\tau_m = \dfrac{\tau_f}{F} = \dfrac{c' + \sigma'_n \tan\phi'}{F}

donde

$\tau_f$: resistencia al corte disponible en la superficie (kPa)
$c',\ \phi'$: cohesión efectiva (kPa) y ángulo de rozamiento efectivo (°)
$\sigma'_n = \sigma_n - u$: tensión normal efectiva en la superficie, igual a la tensión normal total menos la presión intersticial (kPa)

De esta definición se derivan dos consecuencias que conviene tener presentes. En primer lugar, $F$ se aplica a los parámetros de resistencia, $c'$ y $\tan\phi'$ , y no a las cargas. En segundo lugar, los métodos de dovelas suponen que se moviliza el mismo $F$ a lo largo de toda la superficie, es decir, que el talud se comporta como un cuerpo rígido-plástico que rompe a la vez en todos sus puntos. Un valor $F = 1$ corresponde al equilibrio límite, y un valor menor que uno indica que la resistencia considerada no basta para sostener la masa sobre esa superficie.

Otros modelos de resistencia (Hoek-Brown, Barton-Bandis, resistencia sin drenaje…) sustituyen el numerador de la Ec. (3.1.1) por su propia envolvente $\tau_f(\sigma'_n)$ . La Sección 3.5 describe cómo linealiza OGR Slip2D una envolvente curva en cada método.

3.1.2El método de dovelas#

Las tensiones en una superficie de rotura dependen del peso del terreno que hay sobre cada punto, y ese peso cambia de un punto a otro. El método de dovelas lo resuelve dividiendo la masa deslizante en dovelas verticales, lo bastante estrechas para que la base de cada una pueda considerarse recta y su resistencia uniforme (Fellenius, 1927). La Figura 3.1.1 muestra la superficie crítica de un análisis con el método de Spencer, dividida en las 30 dovelas que utilizó OGR Slip2D para calcularla.

Figura 3.1.1 Superficie crítica de Spencer del talud de dos capas de la página de inicio (

F = 1.290

), dividida en 30 dovelas verticales. El nivel freático (línea azul discontinua) fija la presión intersticial en la base de cada dovela. Cálculo realizado con OGR Slip2D 0.1.235.

La Figura 3.1.2 representa las fuerzas que actúan sobre una dovela: su peso $W$ , las cargas exteriores que pueda haber sobre su cara superior, las fuerzas en la base y las que ejercen sobre ella las dos dovelas contiguas.

Figura 3.1.2 Fuerzas sobre una dovela.

W

peso,

k_h W

fuerza sísmica pseudoestática,

N

fuerza normal total en la base, de la que

U = u\,l

es la parte debida al agua intersticial,

S_m

fuerza tangencial movilizada,

E

X

fuerzas normal y tangencial entre dovelas en las caras izquierda (L) y derecha (R). Los sentidos dibujados siguen el criterio habitual para un talud que rompe de izquierda a derecha.

La base de una dovela de anchura $b$ e inclinación $\alpha$ tiene una longitud $l = b\sec\alpha$ . Si se expresa en fuerzas la resistencia al corte en esa base y se divide por $F$ , resulta la fuerza tangencial movilizada que interviene en todos los métodos:

S_m = \dfrac{c'\,l + (N - u\,l)\tan\phi'}{F}

La fuerza normal $N$ es una incógnita: depende de qué parte del peso soporta la base y de qué parte soportan las dovelas vecinas, y en eso se diferencian unos métodos de otros.

3.1.3Ecuaciones e incógnitas#

Para una masa dividida en $n$ dovelas, la estática proporciona tres ecuaciones por dovela (equilibrio de fuerzas horizontales, de fuerzas verticales y de momentos), es decir, $3n$ ecuaciones en total. Las incógnitas se cuentan en la Tabla 3.1.1, según Fredlund y Krahn (1977) y Duncan, Wright y Brandon (2014).

Tabla 3.1.1 Incógnitas del método de dovelas para

n

dovelas, con la fuerza normal de cada base aplicada en su punto medio.

Incógnita	Símbolo	Número
Factor de seguridad	$F$	1
Fuerza normal en cada base	$N$	n
Fuerza normal entre dovelas	$E$	n − 1
Fuerza tangencial entre dovelas	$X$	n − 1
Punto de aplicación de $E$ (línea de empujes)	$h_E$	n − 1
Total		4n − 2

La fuerza tangencial en cada base no añade ninguna incógnita, porque la Ec. (3.1.2) la relaciona con $N$ y $F$ . Aun así, hay $4n - 2$ incógnitas para $3n$ ecuaciones: el problema tiene $n - 2$ incógnitas más que ecuaciones y es hiperestático. Todo método de dovelas lo cierra con una hipótesis sobre las fuerzas entre dovelas (su magnitud, su inclinación o ambas), y esa hipótesis decide qué ecuaciones de equilibrio puede seguir satisfaciendo el método.

3.1.4Cómo cierra cada método el problema#

La Tabla 3.1.2 resume los nueve métodos que incorpora OGR Slip2D. Los métodos que satisfacen un solo tipo de equilibrio son más sencillos y, en la mayoría de los taludes, dan resultados próximos a los de los métodos rigurosos; los que satisfacen a la vez el equilibrio de fuerzas y el de momentos exigen iterar sobre dos variables, pero parten de la hipótesis menos restrictiva. Cada método se desarrolla en la Sección 3.2.

Tabla 3.1.2 Los nueve métodos de dovelas de OGR Slip2D: equilibrio que satisface cada uno e hipótesis sobre las fuerzas entre dovelas.

Método	Fuerzas	Momentos	Hipótesis sobre las fuerzas entre dovelas	Fuente
Ordinario (Fellenius)	—	✓	Se desprecian las fuerzas entre dovelas	Fellenius (1927)
Bishop simplificado	vertical	✓	Fuerzas entre dovelas horizontales ( $X = 0$ )	Bishop (1955)
Janbu simplificado	✓	—	Fuerzas entre dovelas horizontales ( $X = 0$ )	Janbu (1973)
Janbu corregido	✓	—	Como Janbu simplificado, multiplicado por un factor empírico $f_0$	Janbu (1973)
Corps of Engineers #1	✓	—	Inclinación de la cuerda que une la entrada y la salida de la superficie	USACE (2003)
Corps of Engineers #2	✓	—	Inclinación de la superficie del terreno sobre cada dovela	USACE (2003)
Lowe-Karafiath	✓	—	Media de las inclinaciones de la superficie del terreno y de la base	Lowe y Karafiath (1960)
Spencer	✓	✓	Inclinación $\theta$ común a todas las fuerzas entre dovelas	Spencer (1967)
GLE / Morgenstern-Price	✓	✓	$X = \lambda f(x)\,E$ con una función $f(x)$ a elegir	Morgenstern y Price (1965); Fredlund y Krahn (1977)

En OGR Slip2D

Los métodos que se van a ejecutar se eligen en Analysis → Project Settings → Methods. Se pueden ejecutar varios en un mismo análisis, cada uno con su propia búsqueda, para comparar las superficies críticas que obtiene cada método. Por defecto, el proyecto usa 25 dovelas, una tolerancia de convergencia de 0.005 sobre $F$ y un máximo de 50 iteraciones. Cada vértice de una superficie no circular, y cada contorno de material o nivel freático que esta atraviesa, se convierte en un límite obligatorio entre dovelas; si una superficie necesitara más dovelas que el número fijado, se descarta, y las notas del análisis indican cuántas se han descartado.

Código: ogr_slip2d/methods/ · ogr_core/project/settings.py

3.1.5Dirección del deslizamiento#

Las ecuaciones se plantean para una masa que desliza en una dirección conocida, de la que dependen el signo de la inclinación de la base $\alpha$ , el sentido de la tensión tangencial movilizada y el lado en que actúan una grieta de tracción o un soporte. Por eso OGR Slip2D pide la dirección de rotura del modelo (de izquierda a derecha cuando el terreno desciende hacia la derecha) y avisa cuando la opción elegida contradice la geometría, por ejemplo cuando la coronación que se deduce de ella queda más baja que el pie.

3.1.6Lo que no dice el factor de seguridad#

No da deformaciones. El equilibrio límite indica si la masa se sostiene; cuánto se mueve antes de romper hay que obtenerlo con un análisis de deformaciones o, bajo la acción sísmica, con una estimación por bloque deslizante (Sección 3.9).
Un único valor de $F$ para toda la superficie. Los materiales con ablandamiento por deformación y la rotura progresiva, en la que distintas partes de la superficie alcanzan su resistencia de pico en momentos distintos, quedan fuera del método.
Deformación plana. Una sección bidimensional ignora la resistencia en los extremos de un deslizamiento tridimensional, lo que en la mayoría de los taludes queda del lado de la seguridad.
Solo las superficies analizadas. El factor de seguridad crítico es el más bajo de los encontrados. La Sección 3.4 trata de cómo lo busca OGR Slip2D y de cómo comprobar que la búsqueda lo ha encontrado.

Criterio de ingeniería

Un factor de seguridad es el resultado de un modelo y depende de la geometría, las resistencias y las presiones intersticiales que se hayan introducido en él. Antes de fiarse de un resultado conviene contrastarlo con cálculos independientes; la responsabilidad de un proyecto recae en el ingeniero que lo firma.

3.1.7Referencias#

Bishop, A.W. (1955). The use of the slip circle in the stability analysis of slopes. Géotechnique, 5(1), 7–17.
Duncan, J.M., Wright, S.G. & Brandon, T.L. (2014). Soil Strength and Slope Stability, 2nd ed. Wiley.
Fellenius, W. (1927). Erdstatische Berechnungen mit Reibung und Kohäsion (Adhäsion) und unter Annahme kreiszylindrischer Gleitflächen. Ernst & Sohn, Berlin.
Fredlund, D.G. & Krahn, J. (1977). Comparison of slope stability methods of analysis. Canadian Geotechnical Journal, 14(3), 429–439.