Modelos de resistencia al corte

Todo método de dovelas necesita conocer la resistencia al corte disponible en la base de cada dovela. OGR Slip2D ofrece 22 modelos de resistencia, desde el de Mohr-Coulomb y la resistencia sin drenaje hasta las envolventes de Hoek-Brown y de Barton-Bandis, las anisótropas y las tabuladas. El capítulo muestra primero cómo una envolvente curva se convierte en una cohesión y un ángulo de rozamiento en cada dovela y describe después cada modelo: la expresión que evalúa el programa, sus parámetros por defecto y la fuente de la fórmula.

3.5.1Cómo interviene un modelo de resistencia en el análisis#

Un modelo de resistencia es una función $\tau_f(\sigma'_n)$ que da la resistencia al corte disponible en un plano sometido a una tensión normal efectiva $\sigma'_n$. Interviene en el análisis mediante la fuerza tangencial movilizada en la base de cada dovela, Ec. (3.1.2). Los métodos de dovelas se formulan para una base con cohesión y ángulo de rozamiento, como en la Ec. (3.2.1), por lo que un modelo cuya envolvente no es una recta se sustituye, en cada dovela, por su tangente en la tensión a que está sometida la base:

donde

$c_i,\ \phi_i$

cohesión (kPa) y ángulo de rozamiento (°) instantáneos de la dovela $i$

$\bar\sigma$

tensión normal efectiva a la que se evalúa la envolvente en esa dovela, que se toma como cero cuando es negativa (kPa)

La Figura 3.5.1 muestra la construcción sobre la envolvente de Hoek-Brown por defecto. Siempre que es posible, el programa emplea la derivada que proporciona el modelo; en caso contrario, deriva la envolvente numéricamente con un paso centrado de $\max(10^{-3}\,\text{kPa},\ 10^{-4}\bar\sigma)$, unilateral cerca de cero. En el modelo de Mohr-Coulomb la construcción devuelve los propios $c'$ y $\phi'$, sea cual sea $\bar\sigma$.

Dónde se evalúa la envolvente#

La tensión $\bar\sigma$ no se conoce antes de resolver el método. En la primera resolución se evalúa cada envolvente con la estimación

donde

$W$

carga vertical total sobre la dovela: su peso, las cargas aplicadas en su cara superior, el agua que haya sobre ella, la carga vertical de cualquier soporte que la atraviese y, en caso de carga sísmica, la fuerza sísmica vertical (kN/m)

$\alpha,\ l,\ u$

inclinación (°) y longitud (m) de la base, y presión intersticial en ella (kPa)

Una tangente tomada en una tensión distinta de la que el método obtiene finalmente no coincide con la envolvente en ese punto: queda por encima de una curva cóncava y, en una envolvente que pasa por el origen, una tangente trazada en tensión nula no aporta resistencia alguna. Por ello, cuando al menos una dovela de la superficie tiene una envolvente cuya pendiente varía con la tensión, OGR Slip2D vuelve a resolver evaluando cada una de esas envolventes con la tensión normal efectiva de la solución del propio método, y repite el proceso hasta que ambas coinciden:

Las dovelas cuya envolvente es una recta conservan la estimación de la Ec. (3.5.3), que para ellas no cambia nada. Si una superficie no se estabiliza tras 50 resoluciones, se da como no convergida y no se le asigna ningún factor de seguridad. La Sección 3.3.7 describe cómo se integra esta iteración en la iteración sobre $F$ de cada método.

Modelos que dependen de algo más que la tensión normal#

Algunos modelos dependen de la posición y de la orientación de la base. Para ellos el motor de cálculo transmite, además de $\sigma'_n$, una descripción de la base: su inclinación $\alpha$, la profundidad de su centro bajo el terreno, la cota del techo de la capa de material en que se encuentra, su distancia al punto más próximo de la superficie del terreno, la orientación local de la estratificación cuando el material está vinculado a una superficie anisótropa y la tensión vertical efectiva

donde

$W,\ W_w$

carga vertical de la dovela (su peso y las cargas verticales aplicadas sobre ella) y peso del agua que haya sobre ella, sin coeficiente sísmico (kN/m)

$b$

anchura de la dovela (m)

Las tablas de este capítulo indican cuáles de estos datos usa cada modelo. Si un modelo necesita la descripción pero se evalúa sin ella (por ejemplo, al dibujar una envolvente), más abajo se indica qué hace en ese caso.

Resistencia a tracción y coeficientes parciales#

Un modelo tiene otras dos propiedades que se emplean en otras partes del análisis. Su resistencia a tracción es la tracción que admite la comprobación de tracción en la base de una dovela (Sección 3.3.6); es nula en todos los modelos salvo en los dos de Hoek-Brown, donde la da la Ec. (3.5.19). Su categoría de coeficiente parcial indica qué magnitud divide una norma de diseño cuando está activa (Sección 3.12): $c'$ y $\tan\phi'$, la resistencia sin drenaje $c_u$ o la resistencia al corte $\tau$ en su conjunto. La Tabla 3.5.1 indica la categoría de cada modelo.

3.5.2Los 22 modelos de un vistazo#

La Tabla 3.5.1 enumera los modelos en el orden de este capítulo, con el nombre que muestra el programa, el identificador que emplean los archivos de proyecto, la API de Python y la línea de comandos, los parámetros con sus valores por defecto, los datos que usa el modelo además de $\sigma'_n$ y su categoría de coeficiente parcial.

3.5.3Modelos para suelos#

Mohr-Coulomb#

La envolvente lineal de Coulomb (1776), escrita en tensiones efectivas:

Una tensión normal de tracción no genera rozamiento: por debajo de $\sigma'_n = 0$ la resistencia se mantiene en $c'$. La resistencia adicional que aporta la succión matricial sobre el nivel freático se suma a $c'$, como se describe en la Sección 3.5.8.

Resistencia sin drenaje (φ = 0)#

El análisis en tensiones totales de una arcilla saturada cargada más deprisa de lo que puede drenar, en el que la resistencia al corte es la resistencia sin drenaje y no depende de la tensión normal (Skempton, 1948):

El único parámetro es cohesion = $c_u$ (50 kPa por defecto).

Resistencia sin drenaje variable con la profundidad#

En una arcilla normalmente consolidada, la resistencia sin drenaje es proporcional a la tensión vertical efectiva (Ladd y Foott, 1974), por lo que bajo un terreno horizontal crece linealmente con la profundidad, y así se expresan los perfiles publicados de suelos blandos (Duncan y Wright, 2005). Tres modelos aplican la recta

donde

$c_0$

resistencia sin drenaje en la cota de referencia, $z = 0$ (kPa)

$\Delta c$

tasa de variación con $z$ (kPa/m)

$c_{cut}$

límite, que solo se aplica si está activado: un máximo en un perfil creciente y un mínimo en uno decreciente (kPa)

Los tres modelos difieren solo en el origen desde el que se mide $z$ (Tabla 3.5.2). La recta no se trunca en cero: donde se anula dentro de un material, esa parte del material carece de resistencia, y las notas del análisis indican la cota a la que ocurre.

Drenado-no drenado#

Una envolvente de Mohr-Coulomb en condiciones drenadas, limitada superiormente por una resistencia constante, igual a la resistencia drenada para una tensión normal umbral $\sigma_t$:

Sus parámetros son cohesion = $c'$ (5 kPa), phi = $\phi'$ (28°) y sigma_threshold = $\sigma_t$ (100 kPa). El umbral es una tensión, no una resistencia, y una norma de diseño no le aplica ningún coeficiente.

SHANSEP#

La resistencia sin drenaje normalizada con la tensión vertical efectiva y la relación de sobreconsolidación, según Ladd y Foott (1974):

donde

$S$

relación de resistencia normalmente consolidada $s_u/\sigma'_v$ (0.25 por defecto)

$m,\ \mathrm{OCR}$

exponente (0.8) y relación de sobreconsolidación (1)

$A,\ s_{u,min}$

resistencia que se suma al término normalizado y valor mínimo del resultado (ambos 0 kPa)

$\sigma'_v$

tensión vertical efectiva en la base, Ec. (3.5.5)

La resistencia no depende de $\sigma'_n$, por lo que los métodos la toman como una cohesión con $\phi_i = 0$. Donde $\sigma'_v$ es cero, la resistencia vale $\max(A,\ s_{u,min})$. La presión intersticial que interviene en $\sigma'_v$ incluye el posible exceso de presión intersticial debido a una carga sin drenaje ($\bar B$, Sección 3.6): una carga sin drenaje no consolida el suelo y, por tanto, no modifica la tensión de la que depende la resistencia. Si se evalúa sin dovela, el modelo usa $\sigma'_n$ en lugar de $\sigma'_v$.

Relación de tensión vertical#

Una resistencia proporcional a la tensión vertical efectiva en la base, con un mínimo:

con K = 0.25 y min_strength = $\tau_{min}$ = 0 kPa por defecto. Equivale al modelo SHANSEP de la Ec. (3.5.10) con $S = K$, $\mathrm{OCR} = 1$ y $A = 0$ y, como este, los métodos lo toman como una cohesión; sin dovela usa $\sigma'_n$ en lugar de $\sigma'_v$.

3.5.4Modelos para roca#

Hoek-Brown y Hoek-Brown generalizado#

El criterio de Hoek-Brown da la resistencia de un macizo rocoso diaclasado en función de las tensiones principales efectivas. OGR Slip2D lo ofrece en su forma original (Hoek y Brown, 1980), modelo hoek_brown_classic,

y en su forma generalizada (Hoek, Carranza-Torres y Corkum, 2002), modelo hoek_brown,

donde

$\sigma'_1,\ \sigma'_3$

tensiones principales efectivas, mayor y menor, en la rotura (kPa)

$\sigma_{ci}$

resistencia a compresión simple de la roca intacta (sigci, kPa)

$m,\ m_b,\ s,\ a$

constantes del macizo rocoso; el modelo clásico es el generalizado con $a = 1/2$

En el modelo generalizado, las tres constantes pueden obtenerse a partir del índice de resistencia geológica (GSI), de la constante de la roca intacta $m_i$ y del factor de alteración $D$, mediante las relaciones de Hoek et al. (2002):

Los métodos necesitan la resistencia en el plano de la base de la dovela, es decir, la envolvente de Mohr del criterio. Para cualquier criterio $\sigma'_1(\sigma'_3)$ se obtiene a partir de las relaciones de Balmer (1952), tal como las recogen Hoek et al. (2002):

donde

$k$

pendiente del criterio, $d\sigma'_1/d\sigma'_3 = 1 + a\,m_b\left(m_b\sigma'_3/\sigma_{ci} + s\right)^{a-1}$, para el mismo $\sigma'_3$

OGR Slip2D no evalúa la Ec. (3.5.16), sino que, para ambos modelos, usa las expresiones

donde $\hat\sigma = \max(\sigma'_n,\ 10^{-6}\ \text{kPa})$, con $a = 1/2$ y $m_b = m$ para el modelo clásico; $\tau_f = 0$ cuando el término entre paréntesis no es positivo.

Los dos modelos tienen una resistencia a tracción finita, la raíz del término entre paréntesis de la Ec. (3.5.13), que es la resistencia a tracción biaxial de Hoek et al. (2002) y no depende de $a$:

(con $m$ en el modelo clásico). Es la tracción que la comprobación de tracción admite en la base de una dovela en estos materiales, y vale cero si $\sigma_{ci}$, $m_b$ o $s$ no es positivo. La resistencia a tracción procede del propio criterio y no se ve afectada por la aproximación de la Ec. (3.5.18).

Barton-Bandis#

La resistencia de una discontinuidad de la roca a partir de su coeficiente de rugosidad y de la resistencia a compresión de sus paredes, en la forma con el ángulo de rozamiento residual de Barton y Choubey (1977), revisada por Barton y Bandis (1990). OGR Slip2D evalúa

donde

$\hat\sigma$

$\max(\sigma'_n,\ 10^{-6}\ \text{kPa})$

$\phi_r$

ángulo de rozamiento residual (phi_r, 30° por defecto)

$\mathrm{JRC},\ \mathrm{JCS}$

coeficiente de rugosidad de la discontinuidad (8) y resistencia a compresión de las paredes de la discontinuidad (50 000 kPa)

$\phi_{max}$

límite superior del ángulo de rozamiento total (max_total_friction, 75°)

Por encima de $\sigma'_n = \mathrm{JCS}$ el término de rugosidad es nulo y la discontinuidad moviliza solo $\phi_r$. El límite mantiene finito el ángulo cuando la tensión tiende a cero; con los parámetros por defecto solo actúa por debajo de unos 0.12 kPa.

Curva potencial#

Una envolvente formada por una cohesión (ordenada en el origen), una potencia de la tensión normal y un ángulo de ondulación:

El término de potencia se anula donde $\hat\sigma + d \le 0$. Los parámetros son a (0.7), b (1.0), c (3 kPa), el desplazamiento d (0 kPa) y el ángulo de ondulación waviness = $W$ (0°), que recoge la contribución de la ondulación de la discontinuidad y no un ángulo de rozamiento del material. Con los valores por defecto, la curva es la recta $\tau_f = 3 + 0.7\,\sigma'_n$. El modelo facilita su derivada exacta $a\,b\,(\hat\sigma + d)^{b-1} + \tan W$ para la linealización de la Ec. (3.5.2).

Hiperbólica#

Una envolvente que parte del origen con pendiente $\tan\phi_0$ y tiende a una resistencia límite $c_\infty$ para tensiones altas:

con c_inf = $c_\infty$ = 150 kPa y phi_0 = $\phi_0$ = 20° por defecto; su derivada exacta es $c_\infty^2\tan\phi_0/(c_\infty + \hat\sigma\tan\phi_0)^2$.

La Figura 3.5.3 representa las cuatro envolventes de esta sección y la de Mohr-Coulomb (Sección 3.5.3) con los parámetros por defecto, tal como las evalúa el programa, y la Tabla 3.5.3 da los valores para cinco tensiones.

3.5.5Modelos anisótropos#

En un material estratificado o foliado, la resistencia depende de la orientación de la superficie de rotura respecto a los planos de estratificación. Los cuatro modelos anisótropos usan la inclinación $\alpha$ de la base de cada dovela, medida en sentido antihorario desde la horizontal; los dos primeros la comparan con la dirección de la estratificación y los dos últimos la emplean directamente.

Lineal anisótropo#

Un material de Mohr-Coulomb cuya cohesión y rozamiento varían linealmente desde la resistencia de la estratificación $(c_1,\ \phi_1)$ hasta la del macizo rocoso $(c_2,\ \phi_2)$ a medida que la base se aparta de la estratificación (Mercer, 2012). Si $\delta$ es el ángulo agudo entre la base y la estratificación,

donde

$\alpha_b$

inclinación de la estratificación (bedding_angle, 0°), o su valor local en la dovela cuando el material está vinculado a una superficie anisótropa

$A,\ B$

ángulo hasta el cual solo rige la resistencia de la estratificación (10°), y ángulo a partir del cual solo rige la resistencia del macizo rocoso (30°); $A = B$ es un escalón

Lo que se interpola es la tangente del ángulo de rozamiento, no el ángulo mismo. La Figura 3.5.4 muestra la resistencia del material por defecto para $\sigma'_n = 100$ kPa al girar la base. Si se evalúa sin dovela, el modelo devuelve la menor resistencia de las dos orientaciones extremas, $\delta = 0$ y $\delta = 90^\circ$.

Lineal anisótropo modificado de Snowden#

El modelo lineal anisótropo con dos ampliaciones (Mercer, 2012): la transición puede ser distinta a cada lado de la estratificación, y las resistencias de la estratificación y del macizo rocoso son funciones de la tensión normal, ya sean funciones corte/normal o funciones C/Phi (Sección 3.5.6):

donde $\alpha'$ es $\alpha - \alpha_b$ reducido al intervalo $(-90^\circ,\ 90^\circ]$, y $t$ viene dado por la Ec. (3.5.24) con $|\alpha'|$ en lugar de $\delta$. Por defecto, $A_1 = A_2 = 10^\circ$ y $B_1 = B_2 = 30^\circ$, y las dos funciones son funciones C/Phi de una sola fila, iguales a los valores por defecto $(c_1,\ \phi_1)$ y $(c_2,\ \phi_2)$ del modelo lineal anisótropo, de modo que ambos materiales por defecto coinciden. Si se evalúa sin dovela, el modelo devuelve la menor de las resistencias para $\alpha' = 0$, $-90^\circ$ y $+90^\circ$.

Función de resistencia anisótropa#

Una tabla de intervalos de la propia inclinación de la base, cada uno con cohesión y ángulo de rozamiento constantes. Con las filas $(\alpha_k,\ c_k,\ \phi_k)$ ordenadas por $\alpha_k$ creciente y la última en $90^\circ$,

Una inclinación que coincide exactamente con un límite pertenece al intervalo inferior. La tabla por defecto es $(-30^\circ,\ 10\ \text{kPa},\ 35^\circ)$, $(0^\circ,\ 1\ \text{kPa},\ 20^\circ)$, $(90^\circ,\ 5\ \text{kPa},\ 10^\circ)$. Si se evalúa sin dovela, el modelo devuelve la fila más débil para la tensión dada. Una tabla guardada con una versión anterior a la 0.1.218, cuando esos mismos números eran puntos que se interpolaban, se conserva en el archivo, pero el análisis la rechaza hasta que se revise.

Anisótropo generalizado#

Cualquier modelo de resistencia, o la resistencia de otro material, asignado a un intervalo de inclinaciones de la base. Los intervalos son inclinaciones absolutas reducidas a $(-90^\circ,\ 90^\circ]$; la resistencia la aporta la primera regla cuyo intervalo contiene la inclinación (un límite pertenece al intervalo inferior), y el modelo elegido recibe la misma descripción de la base, de modo que un modelo anidado que necesite $\sigma'_v$ o una profundidad dispone de ellos. El peso, el agua y las demás propiedades son los del material que contiene las reglas. Si un conjunto de reglas deja alguna inclinación sin cubrir, o si no se puede construir alguno de sus modelos, se rechaza antes de que empiece el análisis. Sin dovela, el modelo devuelve el más débil de los modelos de sus reglas.

3.5.6Funciones tabuladas#

Tres modelos toman la envolvente de una tabla, normalmente ajustada a resultados de laboratorio. No incluyen ninguna fórmula propia aparte de la interpolación.

En la función C/Phi, el programa facilita a la linealización de la Ec. (3.5.2) la derivada exacta de $\tau_f$, incluida la variación de $\phi$ con la tensión; las otras dos se derivan tramo a tramo. Una norma de diseño divide el valor de $\tau$ en cada punto de las dos primeras tablas y los valores interpolados de $c$ y $\tan\phi$ en la tercera.

3.5.7Resistencia infinita y resistencia nula#

infinite_strength modela un material que la superficie de rotura no puede cortar, como una roca sana o una estructura; en la linealización de la Ec. (3.5.2) se convierte en una cohesión de $10^{12}$ kPa con $\phi_i = 0$, y una norma de diseño no le aplica ningún coeficiente. Los soportes cuya capacidad depende de la resistencia del terreno circundante no desarrollan capacidad alguna en este material, y las notas del análisis lo señalan (Sección 3.10). no_strength devuelve $\tau_f = 0$, para agua o huecos abiertos.

3.5.8Resistencia en suelos no saturados#

Por encima del nivel freático, el análisis de filtración da presiones intersticiales negativas, y la succión matricial aumenta la resistencia del suelo. Fredlund, Morgenstern y Widger (1978) ampliaron el criterio de Mohr-Coulomb con un segundo ángulo de rozamiento, $\phi^b$, asociado a la succión:

OGR Slip2D aplica esta ampliación como una envolvente bilineal definida por dos propiedades del material, $\phi^b$ y el valor de entrada de aire $\psi_{ae}$. Si $s = -u$ es la succión: cuando $s \le \psi_{ae}$ se conserva la presión intersticial negativa, que actúa mediante $\tan\phi'$; cuando $s > \psi_{ae}$ la presión intersticial se toma igual a $-\psi_{ae}$ y el exceso de succión aporta una cohesión adicional

que se suma a $c_i$ de la Ec. (3.5.2), en todos los modelos de resistencia. Ambas propiedades valen cero por defecto, lo que anula las presiones intersticiales negativas y hace que la succión no aporte nada. La succión también se puede acotar con un tope de presión intersticial negativa. Las presiones intersticiales se tratan en la Sección 3.6.

3.5.9Referencias#

• Balmer, G. (1952). A general analytical solution for Mohr's envelope. Proceedings of the American Society for Testing Materials, 52, 1260–1271.
• Barton, N. & Bandis, S. (1990). Review of predictive capabilities of JRC-JCS model in engineering practice. In N. Barton & O. Stephansson (eds), Rock Joints, 603–610. Balkema, Rotterdam.
• Barton, N. & Choubey, V. (1977). The shear strength of rock joints in theory and practice. Rock Mechanics, 10(1–2), 1–54.
• Coulomb, C.A. (1776). Essai sur une application des règles de maximis et minimis à quelques problèmes de statique, relatifs à l'architecture. Mémoires de Mathématique et de Physique présentés à l'Académie Royale des Sciences par divers Savans, 7, 343–382.
• Duncan, J.M. & Wright, S.G. (2005). Soil Strength and Slope Stability. Wiley, Hoboken.
• Fredlund, D.G., Morgenstern, N.R. & Widger, R.A. (1978). The shear strength of unsaturated soils. Canadian Geotechnical Journal, 15(3), 313–321.
• Hoek, E. & Brown, E.T. (1980). Empirical strength criterion for rock masses. Journal of the Geotechnical Engineering Division, ASCE, 106(GT9), 1013–1035.
• Hoek, E., Carranza-Torres, C. & Corkum, B. (2002). Hoek–Brown failure criterion – 2002 edition. Proceedings of the 5th North American Rock Mechanics Symposium, Toronto, 1, 267–273.
• Ladd, C.C. & Foott, R. (1974). New design procedure for stability of soft clays. Journal of the Geotechnical Engineering Division, ASCE, 100(GT7), 763–786.
• Mercer, K.G. (2012). The history and development of the anisotropic linear model: part 1. Australian Centre for Geomechanics Newsletter, Vol. 38 (July 2012), 13–16. Part 2 followed in the same newsletter: Mercer, K.G. (2013), Vol. 40 (July 2013), 1–5.
• Skempton, A.W. (1948). The φ = 0 analysis of stability and its theoretical basis. Proceedings of the 2nd International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Rotterdam, 1, 72–78.