Métodos de dovelas — documentación de OGR Slip2D

OGR Slip2D implementa nueve métodos de dovelas. Todos dividen la masa deslizante en las mismas dovelas, aplican las mismas cargas y presiones intersticiales y obtienen del mismo modo la resistencia en la base de cada dovela; se diferencian en las condiciones de equilibrio que cumplen y en la hipótesis que adoptan sobre las fuerzas entre dovelas. Las ecuaciones de cada método se dan tal como las resuelve el programa, con la fuente original de cada fórmula.

3.2.1Formulación común#

Las fuerzas que actúan sobre una dovela son las de la Figura 3.1.2, y la fuerza tangencial movilizada en su base viene dada por la Ec. (3.1.2). En OGR Slip2D la base de cada dovela es la cuerda recta que une los dos vértices de la base, tanto en una superficie circular como en cualquier otra; $\alpha$ es la inclinación de esa cuerda, $b$ la anchura de la dovela y $l = b\sec\alpha$ la longitud de la base. $W$ es la carga vertical total que actúa sobre la dovela: el peso del suelo, la componente vertical de las cargas aplicadas en su cara superior y el peso del agua embalsada encima. La presión intersticial $u$ se toma en el punto medio de la base.

Cada método deduce el sentido en que desliza la masa del signo de su propia suma de componentes desestabilizadoras, $\sum W\sin\alpha$ ( $\sum W\tan\alpha$ en los métodos de Janbu), y escribe las ecuaciones en ese sentido. Por eso, en este capítulo los ángulos $\alpha$ , $\beta$ (inclinación de la superficie del terreno sobre la dovela) y $\theta$ (inclinación de una fuerza entre dovelas) son positivos donde la línea desciende en el sentido del deslizamiento (en el tramo superior, desestabilizador, de la superficie) y negativos donde asciende hacia la salida. Las fuerzas normales entre dovelas $E$ son positivas en compresión y, con $\theta > 0$ , la resultante en la cara de la dovela del lado de la coronación empuja a esta hacia el pie y hacia abajo. Las ecuaciones se plantean para el caso estático; las fuerzas sísmicas, las del agua y las de los soportes intervienen en cada método como se describe en la Sección 3.9, la Sección 3.6 y la Sección 3.10, y los recuadros En OGR Slip2D que siguen indican dónde.

Resistencia de la base de una dovela#

Los nueve métodos toman la resistencia al corte de la base como una recta, la tangente a la envolvente del material para una tensión normal efectiva estimada en la base,

\tau_f(\sigma'_n) \approx c_i + \sigma'_n\tan\phi_i, \qquad \tan\phi_i = \left.\dfrac{\mathrm{d}\tau_f}{\mathrm{d}\sigma'_n}\right|_{\sigma'_{n0}}, \qquad c_i = \tau_f(\sigma'_{n0}) - \sigma'_{n0}\tan\phi_i

que, en todos los métodos salvo el Ordinario, se evalúa primero con

\sigma'_{n0} = \dfrac{\max\left(0,\; W\cos\alpha - u\,l\right)}{l}

donde

$c_i,\ \tan\phi_i$: ordenada en el origen y pendiente de la tangente, que no pueden ser negativas (kPa, —)
$\sigma'_{n0}$: primera estimación de la tensión normal efectiva en la base (kPa)

En un material de Mohr-Coulomb la tangente coincide con la propia envolvente, $c_i = c'$ y $\phi_i = \phi'$ , y en el resto del capítulo $c'$ y $\phi'$ designan $c_i$ y $\phi_i$ . El método ordinario evalúa la envolvente con su propia tensión normal, según la Ec. (3.2.3). Cuando la envolvente es curva, la tangente depende del punto en que se toma, y el programa repite la solución con la tensión que resulta en cada método hasta que ambas coinciden (Sección 3.3.7); las envolventes se estudian en la Sección 3.5.

En OGR Slip2D

Los métodos se eligen en Analysis → Project Settings → Methods, donde se pueden marcar varios en un mismo análisis. La tangente de la Ec. (3.2.1) se calcula con una única rutina para los nueve métodos: de forma analítica cuando el modelo de resistencia proporciona su derivada y, en caso contrario, por diferencias finitas. A $c_i$ se suma la cohesión debida a la succión matricial en las bases no saturadas. Si en una superficie ninguna base tiene resistencia al corte, se le asigna $F = 0$ y se da el cálculo por fallido, con el mismo mensaje sea cual sea el método.

Código: ogr_slip2d/methods/base.py · ogr_slip2d/methods/bishop.py

La Tabla 3.2.1 indica las incógnitas que resuelve el programa en cada método; las condiciones de equilibrio que cumple cada uno figuran en la Tabla 3.1.2.

Tabla 3.2.1 Los nueve métodos: identificador en los archivos de proyecto, en los scripts y en el servidor MCP, incógnitas que resuelve el programa y tratamiento de las superficies no circulares.

Método	Identificador	Incógnitas	Superficie no circular
Ordinario (Fellenius)	`ordinary_fellenius`	ninguna (solución explícita)	equilibrio de momentos respecto a un eje
Bishop simplificado	`bishop_simplified`	$F$ , por iteración de punto fijo	equilibrio de momentos respecto a un eje
Janbu simplificado	`janbu_simplified`	$F$ , por iteración de punto fijo	las mismas ecuaciones
Janbu corregido	`janbu_corrected`	$F_0$ , como en el simplificado, y después $F = f_0 F_0$	las mismas ecuaciones
Spencer	`spencer`	$F_f$ y $F_m$ para cada $\lambda$ , y $\lambda$	$F_m$ respecto a un eje
GLE / Morgenstern-Price	`gle_morgenstern_price`	$F_f$ y $F_m$ para cada $\lambda$ , y $\lambda$	$F_m$ respecto a un eje
Corps of Engineers #1	`corps_engineers_1`	$F$ , raíz de la recurrencia de las fuerzas entre dovelas	las mismas ecuaciones
Corps of Engineers #2	`corps_engineers_2`	$F$ , raíz de la recurrencia de las fuerzas entre dovelas	las mismas ecuaciones
Lowe-Karafiath	`lowe_karafiath`	$F$ , raíz de la recurrencia de las fuerzas entre dovelas	las mismas ecuaciones

3.2.2Método Ordinario (Fellenius)#

El método ordinario, que también se conoce como método de Fellenius o método sueco, prescinde por completo de las fuerzas entre dovelas (Fellenius, 1927). La fuerza normal en cada base es entonces la componente de la carga de la propia dovela en la dirección perpendicular a la base, y el equilibrio de momentos de toda la masa respecto al centro de la superficie circular da directamente el factor de seguridad, sin iterar:

F = \dfrac{\sum\left[c'\,l + \left(W\cos\alpha - u\,l\cos^2\alpha\right)\tan\phi'\right]}{\sum W\sin\alpha}

donde

$l$: longitud de la base (m)
$W$: carga vertical sobre la dovela (kN/m)
$\alpha$: inclinación de la base (°)
$u$: presión intersticial en el punto medio de la base (kPa)
$c',\ \phi'$: parámetros de resistencia de la base, Ec. (3.2.1) (kPa, °)

El término de la presión intersticial es $u\,l\cos^2\alpha$ y no $u\,l$ . Al descomponer el peso efectivo de la dovela, $W - u\,b$ , según la normal a la base resulta $(W - u\,l\cos\alpha)\cos\alpha$ , que es la corrección de Turnbull y Hvorslev (1967). Las dos expresiones coinciden cuando $u = 0$ o cuando la base es horizontal, y se separan a medida que aumentan la presión intersticial y la inclinación de la base; la que no lleva la corrección da una fuerza normal efectiva menor.

En OGR Slip2D

Una sola pasada, sin iteración. Si la fuerza normal efectiva resulta negativa, se anula antes de evaluar la envolvente, de modo que esa base solo aporta cohesión. $\sum W\sin\alpha$ se calcula con el brazo de palanca real de cada carga respecto al centro, $(x_m - x_O)/R$ , donde $x_m$ es la abscisa del punto medio de la dovela: la base es la cuerda del arco, y su inclinación no coincide con la de la tangente en $x_m$ . La fuerza pseudoestática $k_h W$ actúa a media altura de la dovela; se descompone sobre la base y su momento respecto al centro se añade al término desestabilizador, y las fuerzas horizontales del agua intervienen mediante sus momentos. En una superficie no circular se plantea el mismo equilibrio respecto a un eje de momentos (Sección 3.2.3), también sin iteración. Como la fuerza normal no depende de $c'$ ni de $\phi'$ , es el único método que la iteración para envolventes curvas de la Sección 3.3.7 deja intacto, y tampoco se le aplica la comprobación de m-alfa, porque no forma ese denominador.

Código: ogr_slip2d/methods/ordinary.py

3.2.3Método de Bishop simplificado#

Bishop (1955) supone que las fuerzas entre dovelas son horizontales, $X = 0$ . El equilibrio vertical de cada dovela, con la fuerza tangencial movilizada de la Ec. (3.1.2), da entonces la fuerza normal en la base

N = \dfrac{W - \left(c'\,l - u\,l\tan\phi'\right)\sin\alpha\,/\,F}{m_\alpha}

m_\alpha = \cos\alpha + \dfrac{\sin\alpha\,\tan\phi'}{F}

y el equilibrio de momentos de toda la masa respecto al centro del círculo, en el que $N$ no produce momento porque actúa según un radio, da

F = \dfrac{\sum\left[c'\,b + (W - u\,b)\tan\phi'\right]/m_\alpha}{\sum W\sin\alpha}

donde

$N$: fuerza normal total en la base (kN/m)
$m_\alpha$: denominador de la fuerza normal en la base (—)
$b$: anchura de la dovela (m)

Como $F$ aparece en los dos miembros de la Ec. (3.2.6), el programa la resuelve por iteración de punto fijo: se evalúa el segundo miembro con el valor vigente de $F$ y el resultado pasa a ser el valor siguiente, partiendo del factor de seguridad inicial definido en el proyecto (1.0 por defecto) y hasta que dos valores sucesivos difieren menos que la tolerancia de convergencia. La iteración, sus límites y su aceleración se describen en la Sección 3.3.1 y en la Sección 3.3.2.

Superficies no circulares#

La Ec. (3.2.6) es un cociente de momentos solo porque todas las bases de un círculo tienen el mismo brazo de palanca, el radio, que se simplifica. En cualquier otra superficie cada base tiene su propio brazo, y la fuerza normal en la base ya no pasa por el punto respecto al que se toman momentos, por lo que produce un momento propio (Fredlund y Krahn, 1977). OGR Slip2D calcula entonces el momento de cada fuerza respecto a un eje $O$ mediante un producto vectorial y resuelve

F = -\,\dfrac{\sum_i M_O\!\left(Q_i\,\mathbf{t}_i\right)}{\sum_i\left[M_O\!\left(\mathbf{W}_i\right) + M_O\!\left(N_i\,\mathbf{n}_i\right) + M_O\!\left(\mathbf{H}_i\right)\right]}, \qquad Q_i = \dfrac{c'\,b + (W - u\,b)\tan\phi'}{m_\alpha}

donde

$M_O(\mathbf{P})$: momento antihorario respecto a $O$ de una fuerza $\mathbf{P}$ aplicada en $(x, y)$ : $(x - x_O)P_y - (y - y_O)P_x$ (kN·m/m)
$Q_i$: resistencia al corte de la base $i$ sin dividir por $F$ , $Q = F\,S_m$ (kN/m)
$\mathbf{t}_i$: vector unitario a lo largo de la cuerda de la base, de sentido contrario al movimiento de esta
$N_i\,\mathbf{n}_i$: fuerza normal en la base de la Ec. (3.2.4), aplicada en el punto medio de la base según la normal dirigida hacia el interior de la masa
$\mathbf{W}_i$: carga vertical de la dovela, sobre la vertical que pasa por el punto medio de la base
$\mathbf{H}_i$: fuerzas horizontales (la sísmica, a media altura de la dovela; las del agua, a la cota en que actúan) y fuerzas de los soportes

El sentido de giro es el del momento de los pesos. En un círculo, si se toma su centro como eje, las fuerzas normales en las bases no producen momento y la Ec. (3.2.7) se diferencia de la Ec. (3.2.6) solo en que la fuerza tangencial se toma según cada cuerda y no según el arco. OGR Slip2D mantiene la Ec. (3.2.6) para los círculos y emplea la Ec. (3.2.7) en cualquier otra superficie, con iteración sobre $F$ y la actualización amortiguada $F_{k+1} = \tfrac12\left[F_k + g(F_k)\right]$ , donde $g(F_k)$ es el valor que da la Ec. (3.2.7).

Una superficie no circular no tiene centro, por lo que hay que elegir el eje. Salvo que el usuario defina uno, OGR Slip2D lo construye para cada superficie a partir de la cuerda $\mathrm{AB}$ que une sus dos extremos:

\mathbf{O} = \tfrac{1}{2}\left(\mathbf{A} + \mathbf{B}\right) + \mathbf{R}_{90}\left(\mathbf{B} - \mathbf{A}\right) = \left(\tfrac{x_A + x_B}{2} - (y_B - y_A),\ \ \tfrac{y_A + y_B}{2} + (x_B - x_A)\right)

donde $\mathrm{A}$ es el extremo izquierdo, $\mathrm{B}$ el derecho y $\mathbf{R}_{90}$ un giro antihorario de 90°; el eje queda sobre el punto medio de la cuerda, a una distancia de ella igual a la longitud de la cuerda. En una superficie compuesta los momentos se toman respecto al centro del círculo con el que se construyó, y la superficie recortada por una capa débil conserva el eje de la superficie original (el centro de un círculo o el eje construido de una polilínea), salvo que el usuario haya definido otro.

Nota

En una superficie no circular, el factor de seguridad de los métodos que solo satisfacen el equilibrio de momentos, el Ordinario y el de Bishop, depende del eje; el de Spencer y el de GLE, que satisfacen también el equilibrio de fuerzas, no. La verificación del propio programa recoge este efecto: un círculo profundo analizado como una polilínea de 192 cuerdas inscrita en él da, con el eje automático, 1.2427 por el método ordinario y 1.2500 por el de Bishop, frente a 1.3043 sobre el arco (−4.7 % y −4.2 %), mientras que Spencer da 1.3032; con el eje en el centro del círculo, los tres dan 1.3043.

En OGR Slip2D

Círculos. Se aplica la Ec. (3.2.6) con el brazo de palanca real de cada carga, $(x_m - x_O)/R$ , en lugar de $\sin\alpha$ , como en el método ordinario. La fuerza sísmica suma $k_h W\,(y_O - y_g)/R$ al término desestabilizador, con $y_g$ a media altura de la dovela; las fuerzas horizontales del agua intervienen mediante sus momentos respecto al centro; los soportes activos y pasivos se tratan como en la Sección 3.10. La iteración no se amortigua, admite aceleración (Sección 3.3.2) y nunca termina en el primer paso. Si $|m_\alpha| < 10^{-6}$ en alguna dovela, el cálculo falla con el mensaje de que $m_\alpha$ ha colapsado.

Otras superficies. Se aplica la Ec. (3.2.7), amortiguada como se ha indicado, partiendo del mayor entre 0.05 y el factor de seguridad inicial y sin aceleración. El eje del usuario se define con Surfaces → Slope Limits → Define Moment Axis… y vale para toda superficie salvo los círculos y las superficies compuestas, que giran siempre respecto a su propio centro; Reset Moment Axis restablece un eje automático por superficie.

Código: ogr_slip2d/methods/bishop.py · ogr_slip2d/moment_balance.py · ogr_slip2d/surface.py

3.2.4Métodos de Janbu simplificado y corregido#

El método simplificado de Janbu también desprecia la fuerza tangencial entre dovelas, por lo que la fuerza normal en la base es la de la Ec. (3.2.4), pero en lugar del equilibrio de momentos satisface el equilibrio de fuerzas horizontales de toda la masa (Janbu, 1973):

F_0 = \dfrac{\sum\left[c'\,b + (W - u\,b)\tan\phi'\right]/n_\alpha}{\sum W\tan\alpha}

n_\alpha = \cos^2\alpha\left(1 + \dfrac{\tan\alpha\,\tan\phi'}{F_0}\right) = m_\alpha\cos\alpha

Se resuelve con la misma iteración de punto fijo que la ecuación de Bishop. No necesita un centro de giro y se aplica sin cambios a superficies de cualquier forma. Janbu lo contrastó con su procedimiento generalizado, que sí incluye la fuerza tangencial entre dovelas, y propuso un factor empírico que corrige esa omisión:

F = f_0\,F_0

f_0 = 1 + b_1\left[\dfrac{d}{L} - 1.4\left(\dfrac{d}{L}\right)^{2}\right]

donde

$F_0$: factor de seguridad del método simplificado de Janbu (—)
$L$: longitud de la cuerda que une los dos extremos de la superficie de rotura (m)
$d$: distancia perpendicular máxima de esa cuerda a la superficie de rotura (m)
$b_1$: coeficiente según el tipo de suelo, Tabla 3.2.2 (—)

Las curvas de corrección son de Janbu (1973); la Ec. (3.2.12) es la expresión ajustada a ellas que recogen Abramson et al. (2002). Janbu obtuvo las curvas para taludes homogéneos. La Figura 3.2.1 muestra $L$ y $d$ en un círculo.

Tabla 3.2.2 Coeficiente

b_1

de la Ec. (3.2.12) para los tres tipos de suelo de las curvas de Janbu.

Tipo de suelo en la superficie de rotura	Coeficiente
Solo cohesión ( $\phi' = 0$ )	0.69
Solo rozamiento ( $c' = 0$ )	0.31
Cohesión y rozamiento	0.50

Figura 3.2.1 Cuerda

L

entre los dos extremos de una superficie de rotura y distancia perpendicular máxima

d

de esa cuerda a la superficie, en el círculo de la Tabla 3.2.4 dividido en 25 dovelas. El programa mide

d

en los vértices de las bases de las dovelas. Con

d/L = 0.128

y un suelo con cohesión y rozamiento, la Ec. (3.2.12) da

f_0 = 1.052

. Cálculo realizado con OGR Slip2D 0.1.235.

En OGR Slip2D

El sentido del deslizamiento viene dado por el signo de $\sum W\tan\alpha$ , incluido el agua embalsada. Al término desestabilizador de la Ec. (3.2.9) se suman las fuerzas sísmicas horizontales $\sum k_h W$ y la fuerza horizontal neta del agua en el sentido del deslizamiento; los soportes intervienen con un factor $\sec\alpha$ (Sección 3.10). Si $|n_\alpha| < 10^{-6}$ en alguna dovela, el cálculo falla. La aceleración de la Sección 3.3.2 se aplica a ambos métodos, sobre $F_0$ .

Para la corrección, $L$ une el primer y el último punto de la polilínea de las bases y $d$ es la mayor distancia de esa recta a los vértices de las bases de las dovelas. El tipo de suelo se determina en cada base. Un material de Mohr-Coulomb se clasifica por su $c'$ y su $\phi'$ ; los modelos sin drenaje (constante, variable con la profundidad, SHANSEP) y Vertical Stress Ratio se consideran de solo cohesión; cualquier otra envolvente se clasifica por su forma: de solo cohesión si es horizontal, de solo rozamiento si pasa por el origen y de ambos en los demás casos. Las bases sin resistencia, o con resistencia infinita, no intervienen. Si todas las bases que intervienen son de un mismo tipo, $b_1$ es el de ese tipo; si son de dos o más tipos, $b_1 = 0.50$ , el valor de cohesión y rozamiento, que es un criterio adoptado porque las curvas de Janbu corresponden a taludes homogéneos. El resultado registra $b_1$ y $f_0$ . Todo lo que se calcula por dovela en Janbu corregido (fuerzas en las bases, comprobaciones de admisibilidad de la Sección 3.3) corresponde al equilibrio resuelto con $F_0$ , no con $f_0F_0$ , porque la corrección ajusta el valor y no vuelve a resolver nada.

Código: ogr_slip2d/methods/janbu.py

3.2.5Método de Spencer#

Spencer (1967) supone que todas las resultantes entre dovelas son paralelas, con una inclinación $\theta$ que no se conoce de antemano,

X_i = \lambda\,E_i, \qquad \lambda = \tan\theta

y satisface a la vez el equilibrio de fuerzas y el de momentos, con $F$ y $\lambda$ como únicas incógnitas. OGR Slip2D lo resuelve como la formulación general de equilibrio límite (GLE) de Fredlund y Krahn (1977) con una función de fuerzas entre dovelas constante, de modo que Spencer y GLE/Morgenstern-Price comparten todas las ecuaciones de esta sección y solo se diferencian en la Ec. (3.2.18).

Ecuaciones de una dovela#

Se numeran los límites entre dovelas desde el extremo libre del lado del pie, 0, hasta el extremo del lado de la coronación, $n$ , de modo que la dovela $i$ queda entre los límites $i-1$ e $i$ . El equilibrio vertical de la dovela, ahora con la fuerza tangencial entre dovelas, da la fuerza normal en la base, y el equilibrio horizontal propaga la fuerza normal entre dovelas de un límite al siguiente:

N_i = \dfrac{W_i + X_i - X_{i-1} - \left(c'\,l - u\,l\tan\phi'\right)_i\sin\alpha_i\,/\,F}{m_{\alpha,i}}

E_i = E_{i-1} - N_i\sin\alpha_i + \dfrac{S_i}{F}\cos\alpha_i - H_i, \qquad S_i = c'\,l_i + \left(N_i - u_i\,l_i\right)\tan\phi'

donde

$E_i,\ X_i$: fuerzas normal y cortante entre dovelas en el límite $i$ ; $E_0 = X_0 = X_n = 0$ en los extremos libres (kN/m)
$S_i$: resistencia al corte de la base $i$ , igual a $F$ veces la fuerza tangencial movilizada (kN/m)
$H_i$: fuerza horizontal exterior neta sobre la dovela $i$ , positiva en el sentido del deslizamiento (kN/m)

Resultan así dos expresiones del factor de seguridad, una por cada condición de equilibrio:

F_f = \dfrac{\sum S_i\sec\alpha_i}{\sum\left[\left(W_i + X_i - X_{i-1}\right)\tan\alpha_i + H_i\right]}

F_m = \dfrac{\sum S_i}{\sum W_i\sin\alpha_i}

La Ec. (3.2.16) expresa el equilibrio horizontal de toda la masa, $E_n = 0$ , una vez sustituido $N_i\sin\alpha_i$ por su valor del equilibrio vertical; para $\lambda = 0$ coincide, término a término, con la ecuación simplificada de Janbu, Ec. (3.2.9). La Ec. (3.2.17) es el equilibrio de momentos respecto al centro de un círculo, donde las fuerzas entre dovelas se anulan por pares y solo actúan por medio de $N_i$ ; para $\lambda = 0$ es la ecuación de Bishop. En una superficie no circular, $F_m$ es el equilibrio de momentos de la Ec. (3.2.7) respecto al mismo eje que en el método de Bishop, con $N_i$ obtenido de la Ec. (3.2.14).

Para cada valor de prueba de $\lambda$ , el programa itera $F_f$ y $F_m$ por separado hasta su punto fijo, y en cada pasada recorre las dovelas con la Ec. (3.2.14) y la Ec. (3.2.15). La solución es el $\lambda$ para el que ambos coinciden, $F = F_f = F_m$ . La Sección 3.3.3 explica cómo lo busca el programa y cuándo rechaza un valor de $\lambda$ ; en ella, la Figura 3.3.1 muestra ambos factores en función de $\lambda$ .

Figura 3.2.2

F_f

F_m

en función de

\lambda

en el círculo crítico del talud de dos capas del inicio rápido, calculados con la rutina de resolución interna del propio programa. Para

\lambda = 0

, la curva de fuerzas da el factor simplificado de Janbu, 1.183, y la de momentos el de Bishop, 1.300; se cortan en

\lambda = 0.343

F = 1.290

, que es la solución de Spencer del inicio rápido.

En OGR Slip2D

Spencer es el motor GLE con $f = 1$ en todos los límites. El recorrido de las dovelas empieza por el extremo libre del lado del pie. En un círculo, el denominador de la Ec. (3.2.17) emplea los brazos de palanca reales e incluye los momentos sísmicos, del agua y de los soportes, como en el método de Bishop; los soportes intervienen además en las dos ecuaciones de la dovela (Sección 3.10). El resultado incluye $\lambda$ (en Spencer, $\tan\theta$ ), las fuerzas entre dovelas $E$ y $X$ en cada límite y la conclusión de la comprobación de su admisibilidad (Sección 3.3.4).

Código: ogr_slip2d/methods/spencer.py · ogr_slip2d/interslice.py

3.2.6GLE / Morgenstern-Price#

Morgenstern y Price (1965) hicieron variar la relación entre las componentes cortante y normal de las fuerzas entre dovelas a lo largo de la superficie según una función elegida $f(x)$ , multiplicada por $\lambda$ ; Fredlund y Krahn (1977) plantearon el procedimiento en la forma general de la Ec. (3.2.16) y la Ec. (3.2.17):

X_i = \lambda\,f(x_i)\,E_i

Con $f \equiv 1$ se obtiene el método de Spencer; en OGR Slip2D esa igualdad se cumple por construcción, ya que ambos ejecutan el mismo código. La función se evalúa en los límites entre dovelas, en términos de la abscisa normalizada sobre la superficie,

t = \dfrac{x - x_0}{x_n - x_0}

donde $x_0$ y $x_n$ son las abscisas de los extremos izquierdo y derecho de la superficie; $t = 0$ corresponde al extremo izquierdo, sea cual sea el sentido del deslizamiento. El programa ofrece las cuatro funciones de la Tabla 3.2.3, dibujadas en la Figura 3.2.3. Las cuatro son simétricas respecto a $t = \tfrac12$ , de modo que esa convención no depende de hacia qué lado mire el talud. Una función que se anula en ambos extremos, como el medio seno, no admite fuerza tangencial entre dovelas cerca de ellos; el seno recortado mantiene allí una relación de $0.2\lambda$ .

Tabla 3.2.3 Funciones de las fuerzas entre dovelas disponibles en GLE / Morgenstern-Price, con

t

según la Ec. (3.2.19).

Función	Identificador	Expresión
Half Sine (medio seno), por defecto	`half_sine`	$\sin(\pi t)$
Constant (constante)	`constant`	$1$
Trapezoidal	`trapezoidal`	$4t$ para $t < 0.25$ ; $1$ para $0.25 \le t \le 0.75$ ; $4(1 - t)$ para $t > 0.75$
Clipped Sine (seno recortado)	`clipped_sine`	$0.2 + 0.8\sin(\pi t)$

Figura 3.2.3 Las cuatro funciones de la Tabla 3.2.3, dibujadas con las propias funciones del programa. El medio seno, que es la opción por defecto, va en bermellón.

En OGR Slip2D

La función se elige en Analysis → Project Settings → Methods → Interslice force function, opción que se habilita al marcar GLE / Morgenstern-Price; por defecto es Half Sine. El intervalo de búsqueda de $\lambda$ , común con Spencer, se fija en la página Advanced mediante Minimum lambda y Maximum lambda (−0.1 y 6.0 por defecto). En el programa solo se pueden elegir estas cuatro funciones; un script de Python que construya directamente el objeto del método puede pasar cualquier función de $(x, x_0, x_n)$ (Sección 5.3). El resultado incluye $\lambda$ y las relaciones $\lambda f(x_i)$ en cada límite.

Código: ogr_slip2d/methods/gle.py

3.2.7Métodos con inclinación impuesta de las fuerzas entre dovelas#

Corps of Engineers #1, Corps of Engineers #2 y Lowe-Karafiath satisfacen únicamente el equilibrio de fuerzas. En vez de calcular la inclinación de las fuerzas entre dovelas, la imponen a partir de la geometría, con lo que el factor de seguridad queda como única incógnita. Los tres emplean el mismo motor de cálculo, la solución numérica del método sueco modificado que publicó el Cuerpo de Ingenieros del Ejército de EE. UU. (USACE, 2003), y solo se distinguen por el modo de obtener $\theta$ .

Inclinación de las fuerzas entre dovelas#

Corps of Engineers #1 adopta una única inclinación para toda la superficie, la de la recta que une sus dos extremos. USACE (2003, §C-4a) toma las fuerzas laterales paralelas a la pendiente media del terraplén, normalmente la recta que va de la coronación al pie; OGR Slip2D traza esa recta entre los puntos en que la superficie de rotura corta el terreno y, cuando la masa queda limitada por una grieta de tracción, desde la parte superior de esta.
Corps of Engineers #2 toma $\theta_i = \beta_i$ , la inclinación del terreno sobre la dovela $i$ . Vale cero donde el terreno es horizontal, de manera que allí se anula la fuerza tangencial entre dovelas.
Lowe-Karafiath toma la media de las inclinaciones del terreno y de la superficie de rotura (Lowe y Karafiath, 1960):

\theta_i = \tfrac{1}{2}\left(\alpha_i + \beta_i\right)

Cada regla define $\theta$ dovela a dovela, a partir de las cuerdas de la cara superior ( $\beta_i$ ) y de la base ( $\alpha_i$ ). La fuerza en un límite interior actúa con la inclinación media de las dos dovelas contiguas,

\theta_{i,i+1} = \tfrac{1}{2}\left(\theta_i + \theta_{i+1}\right)

lo cual no afecta a Corps of Engineers #1, cuyo $\theta$ es constante. La Figura 3.2.4 muestra las tres opciones sobre una misma superficie.

Figura 3.2.4 Inclinación de las fuerzas entre dovelas en los límites interiores de un mismo círculo, dividido en diez dovelas, según el programa para (a) Corps of Engineers #1, (b) Corps of Engineers #2 y (c) Lowe-Karafiath. El valor que se indica es la inclinación en el tercer límite. El círculo es el de la Tabla 3.2.4. Cálculo realizado con OGR Slip2D 0.1.235.

Equilibrio de fuerzas#

Sea $Z$ la resultante entre dovelas, con inclinación $\theta$ . Si se plantea el equilibrio horizontal y vertical de una dovela y se elimina la fuerza normal en la base, resulta una relación lineal entre las fuerzas de sus dos caras:

Z_{\mathrm{d}}\,n_\alpha(\theta_{\mathrm{d}}) = Z_{\mathrm{u}}\,n_\alpha(\theta_{\mathrm{u}}) + C

n_\alpha(\theta) = \cos(\alpha - \theta) + \dfrac{\tan\phi'}{F}\sin(\alpha - \theta)

C = W\left(\sin\alpha - \dfrac{\tan\phi'}{F}\cos\alpha\right) + H\left(\cos\alpha + \dfrac{\tan\phi'}{F}\sin\alpha\right) - \dfrac{c'\,l - u\,l\tan\phi'}{F}

donde

$Z_{\mathrm{u}},\ \theta_{\mathrm{u}}$: resultante entre dovelas en la cara de la dovela del lado de la coronación, y su inclinación (kN/m, °)
$Z_{\mathrm{d}},\ \theta_{\mathrm{d}}$: ídem en la cara del lado del pie
$H$: fuerza horizontal exterior neta sobre la dovela, positiva en el sentido del deslizamiento (kN/m)

Si $\theta$ es constante, la relación se reduce a $Z_{\mathrm{d}} = Z_{\mathrm{u}} + C/n_\alpha$ , la Ec. C-19 de USACE (2003). El programa aplica la Ec. (3.2.22) dovela a dovela a partir de un extremo libre, donde $Z = 0$ ; el factor de seguridad es el valor de $F$ para el que no queda fuerza en el otro extremo, $Z_n(F) = 0$ . La fuerza normal en la base se deduce después del equilibrio vertical de cada dovela (USACE 2003, Ec. G-16):

N = \dfrac{W + Z_{\mathrm{u}}\sin\theta_{\mathrm{u}} - Z_{\mathrm{d}}\sin\theta_{\mathrm{d}} - \left(c'\,l - u\,l\tan\phi'\right)\sin\alpha\,/\,F}{m_\alpha}

La raíz se localiza por acotación. Se evalúa $Z_n$ para $F$ = 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.2, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 4.0 y 5.0, y en el primer par de valores de signo opuesto se afina la raíz por el método de la secante, que se sustituye por la bisección cuando un paso se sale del intervalo, hasta que $|Z_n| < 10^{-6}$ kN/m o el intervalo resulta más estrecho que la tolerancia de convergencia. Se descarta todo valor de prueba de $F$ para el que $n_\alpha \le 10^{-6}$ en alguna cara, porque un denominador casi nulo crea una raíz espuria para valores bajos de $F$ .

Nota

El intervalo se busca entre $F = 0.2$ y $F = 5.0$ . Si el factor de seguridad de una superficie queda fuera de ese intervalo, estos tres métodos no pueden acotar la raíz: el programa devuelve entonces el valor muestreado con menor residuo, marca el cálculo como no convergido («no F-bracket») y lo descarta.

Fuerzas entre dovelas totales o efectivas#

Cuando la presión del agua actúa sobre las caras verticales entre dovelas, la fuerza que se transmite por una cara es la suma de una parte efectiva, que soporta el esqueleto del suelo, y la integral de la presión del agua, de dirección horizontal. Los métodos que calculan la inclinación de las fuerzas entre dovelas, o que las suponen horizontales, no dependen de este reparto; los que la imponen, sí. USACE (2003, §C-4a) admite ambas interpretaciones y advierte de que el factor de seguridad difiere de una a otra.

En OGR Slip2D

Analysis → Project Settings → Methods → Interslice forces, activo cuando se marca uno de los tres métodos: Total (water thrust included), que es el valor por defecto, o Effective (water thrust separated). Con Effective, la presión del agua en cada cara vertical se integra a partir del modelo de presión intersticial del proyecto y se aplica como carga horizontal a las dos dovelas que comparten la cara, y $\theta$ se impone para la fuerza efectiva. Total es el convenio en que se dan los valores publicados de estos métodos; Effective es la opción adecuada para un talud con agua por encima, donde con fuerzas totales el factor de seguridad depende de la profundidad del agua.

El cálculo se intenta primero con la geometría tal como está dibujada y, si no se acota ninguna raíz, con la geometría reflejada; se adopta la primera orientación en la que se acota una raíz. El afinado de la raíz emplea como máximo 60 pasos o los que fije Maximum iterations, si son más. No se aplica la aceleración de la Sección 3.3.2 ni la comprobación de m-alfa, porque estos métodos dividen por $n_\alpha(\theta)$ , de la Ec. (3.2.23), y no por $m_\alpha$ . La línea de empujes está disponible en los tres (Sección 3.3.8).

Código: ogr_slip2d/methods/modified_swedish.py · ogr_slip2d/methods/lowe_karafiath.py

3.2.8Elección de un método#

Ningún método de dovelas es exacto: todos cierran con una hipótesis el problema hiperestático de la Sección 3.1.3. Lo que tienen en común y en qué se diferencian se resume a continuación, siguiendo a Duncan, Wright y Brandon (2014).

Equilibrio completo. Spencer y GLE/Morgenstern-Price satisfacen todas las condiciones de equilibrio, y los procedimientos que lo hacen dan factores de seguridad que difieren poco entre sí (Fredlund y Krahn, 1977). Entre los métodos que usan el equilibrio de momentos, son los únicos cuyo resultado en una superficie no circular no depende del eje de momentos.
El método de Bishop simplificado da valores próximos a los de los procedimientos de equilibrio completo en superficies circulares. En las demás, el resultado depende del eje de momentos (Sección 3.2.3).
El método ordinario no necesita iteración y siempre da un resultado, pero en análisis en tensiones efectivas con presiones intersticiales altas su factor de seguridad puede quedar muy por debajo del de los procedimientos de equilibrio completo.
Los métodos de equilibrio de fuerzas (los dos de Janbu y los de inclinación impuesta) dependen de la inclinación que suponen para las fuerzas entre dovelas: horizontal en los de Janbu, fijada por la geometría en los demás.

Si se ejecutan varios métodos sobre un mismo modelo, como permite OGR Slip2D, se ve hasta qué punto depende el resultado de esas hipótesis. La Tabla 3.2.4 recoge los nueve factores de seguridad en un círculo de un talud sencillo.

Tabla 3.2.4 Los nueve métodos en un mismo círculo: el de menor factor de Bishop hallado con una búsqueda por rejilla (centro 38.0, 36.0; radio 26.10 m) en un talud homogéneo y seco de 10 m de altura con pendiente 2H:1V, con

c' = 10

kPa,

\phi' = 30°

\gamma = 20

kN/m³, dividido en 25 dovelas y con los ajustes por defecto del proyecto. Cálculo realizado con OGR Slip2D 0.1.235; es una ilustración, no un caso de referencia.

Método	$F$	Respecto a Spencer	Nota
Ordinario (Fellenius)	1.816	−4.1 %
Bishop simplificado	1.896	+0.2 %
Janbu simplificado	1.799	−5.0 %
Janbu corregido	1.894	0.0 %	$f_0 = 1.052$ , $b_1 = 0.50$
Spencer	1.893	—	$\lambda = 0.388$ ( $\theta = 21.2°$ )
GLE / Morgenstern-Price	1.893	0.0 %	medio seno, $\lambda = 0.475$
Corps of Engineers #1	1.905	+0.6 %
Corps of Engineers #2	1.920	+1.4 %
Lowe-Karafiath	1.904	+0.5 %

Criterio de ingeniería

La dispersión entre métodos depende del problema, y un talud homogéneo y seco con superficie circular es un caso favorable. Si la dispersión es grande, conviene examinar las fuerzas en las dovelas (Sección 3.3) antes de dar por buenos los valores.

3.2.9Referencias#

Abramson, L.W., Lee, T.S., Sharma, S. & Boyce, G.M. (2002). Slope Stability and Stabilization Methods, 2nd ed. Wiley, New York.
Bishop, A.W. (1955). The use of the slip circle in the stability analysis of slopes. Géotechnique, 5(1), 7–17.
Duncan, J.M., Wright, S.G. & Brandon, T.L. (2014). Soil Strength and Slope Stability, 2nd ed. Wiley.
Fellenius, W. (1927). Erdstatische Berechnungen mit Reibung und Kohäsion (Adhäsion) und unter Annahme kreiszylindrischer Gleitflächen. Ernst & Sohn, Berlin.
Fredlund, D.G. & Krahn, J. (1977). Comparison of slope stability methods of analysis. Canadian Geotechnical Journal, 14(3), 429–439.
Janbu, N. (1973). Slope stability computations. In R.C. Hirschfeld & S.J. Poulos (eds.), Embankment-Dam Engineering: Casagrande Volume, 47–86. Wiley, New York.
Lowe, J. & Karafiath, L. (1960). Stability of earth dams upon drawdown. Proceedings of the 1st Pan-American Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Mexico City, 2, 537–552.
Morgenstern, N.R. & Price, V.E. (1965). The analysis of the stability of general slip surfaces. Géotechnique, 15(1), 79–93.
Spencer, E. (1967). A method of analysis of the stability of embankments assuming parallel inter-slice forces. Géotechnique, 17(1), 11–26.
Turnbull, W.J. & Hvorslev, M.J. (1967). Special problems in slope stability. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE, 93(SM4), 499–528.
U.S. Army Corps of Engineers (2003). Slope Stability. Engineer Manual EM 1110-2-1902. Washington, DC.