Desembalse rápido — documentación de OGR Slip2D

Cuando el agua que hay contra un terraplén o un talud natural desciende más deprisa de lo que el suelo puede drenar, una zona de baja permeabilidad conserva buena parte de su presión intersticial y pierde a la vez el apoyo del agua exterior. Por eso el desembalse rápido es una de las situaciones determinantes en el estudio de los taludes de aguas arriba de las presas y de las márgenes de los embalses. OGR Slip2D ofrece para este caso cuatro procedimientos (un análisis en tensiones efectivas con el coeficiente $\bar B$ de Skempton y tres procedimientos multietapa con resistencias sin drenaje), un barrido de niveles de desembalse y, como alternativa a la hipótesis de ausencia de drenaje, un análisis de filtración transitoria.

3.8.1El problema#

Antes del desembalse, el talud está en equilibrio bajo el agua exterior, que carga su paramento, y bajo las presiones intersticiales del interior. Un desembalse rápido retira el agua exterior, pero las presiones intersticiales de un suelo de baja permeabilidad no pueden seguirla de inmediato: el suelo se descarga en condiciones sin drenaje, y su resistencia después del desembalse depende de las tensiones efectivas con las que estaba consolidado antes (Lowe y Karafiath, 1960). Un suelo de drenaje libre, en cambio, sigue el nuevo nivel del agua. Los procedimientos en uso se distinguen por el modo de estimar la resistencia de las zonas sin drenaje (Wright y Duncan, 1987; Duncan, Wright y Wong, 1990; USACE, 2003).

OGR Slip2D representa los dos niveles del embalse con dos superficies de agua: el nivel freático es el nivel inicial y la línea de desembalse es el final, más bajo. Si no hay línea de desembalse, el desembalse es total. Cada procedimiento trabaja con copias del modelo en los dos niveles, por lo que el propio modelo no se modifica. En el nivel final, la línea de desembalse ocupa el lugar del nivel freático, de modo que las presiones intersticiales, el agua embalsada, los pesos específicos saturados y los límites de las dovelas la siguen; las líneas piezométricas no se desplazan.

En OGR Slip2D

El análisis se activa en Analysis → Project Settings → Groundwater → Advanced (Rapid Drawdown analysis), y el Drawdown method se elige entre los cuatro de la Tabla 3.8.1; el valor por defecto es b_bar. Todos los procedimientos exigen un método de agua subterránea basado en superficies de agua (water_table o piezo_line), al menos un material marcado como Undrained Behaviour y una línea de desembalse que no quede por encima del nivel freático; de lo contrario, el análisis se rechaza y se indica el motivo. El procedimiento se aplica a cada método de dovelas seleccionado, y el desembalse rápido no es compatible con el análisis transitorio de agua subterránea ni con el exceso de presión intersticial por carga.

Código: ogr_slip2d/rapid_drawdown.py · ogr_core/hydraulic/drawdown_levels.py · ogr_core/project/settings.py

3.8.2Los cuatro procedimientos#

Los procedimientos se diferencian únicamente en la resistencia que asignan, tras el desembalse, a los materiales marcados como no drenados (Tabla 3.8.1). En los cuatro, los materiales de drenaje libre conservan su resistencia efectiva y toman las presiones intersticiales del nivel final.

Tabla 3.8.1 Procedimientos de desembalse rápido de OGR Slip2D, con el nombre que tienen en el programa, y resistencia que cada uno asigna a los materiales no drenados.

Procedimiento	Identificador	Materiales no drenados tras el desembalse	Límite drenado
Effective Stress using B-bar	`b_bar`	resistencia efectiva, con la presión intersticial inicial reducida mediante $\bar B$ (Skempton, 1954)	—
Lowe and Karafiath (1960)	`lowe_karafiath`	resistencia sin drenaje interpolada entre la envolvente $K_c = 1$ y la drenada (Lowe y Karafiath, 1960)	no
Duncan, Wright, Wong 3 Stage (1990)	`duncan_wright`	como Lowe y Karafiath (Duncan, Wright y Wong, 1990)	sí
Army Corp. Eng. 2 Stage (1970)	`corps_2`	resistencia sin drenaje obtenida de la envolvente R (USACE, 1970; 2003)	sí

Como el límite drenado solo puede reducir una resistencia, en cualquier superficie de rotura el procedimiento de Duncan, Wright y Wong nunca da un factor de seguridad mayor que el de Lowe y Karafiath.

3.8.3Tensiones efectivas con B-bar#

El procedimiento $\bar B$ consiste en un único análisis en tensiones efectivas en el nivel final. Los materiales marcados como no drenados conservan la presión intersticial que tenían en el nivel inicial, corregida con el coeficiente de Skempton por la reducción de tensión vertical que produce la retirada del agua:

u = \max\!\left[0,\ u_\text{ini} + \bar B\,\Delta\sigma_v\right], \qquad \Delta\sigma_v = -\gamma_w\left(d_\text{ini} - d_\text{fin}\right)

donde

$u_\text{ini}$: presión intersticial en el punto medio de la base para el nivel inicial (kPa)
$d_\text{ini},\ d_\text{fin}$: profundidad del agua embalsada sobre el terreno, en la vertical de la dovela, antes y después del desembalse (m)
$\bar B$: coeficiente del material (—)

$\Delta\sigma_v$ es el peso de la columna de agua retirada sobre la dovela, limitada por la superficie del terreno. Bajo el paramento del talud, donde el terreno queda entre los dos niveles, solo se retira el agua que había sobre el terreno (Figura 3.8.1). Como $\Delta\sigma_v$ es negativo, cuanto mayor es $\bar B$ menor resulta la presión intersticial tras el desembalse: con $\bar B = 1$ la presión sigue por completo la descarga, y con $\bar B = 0$ se mantiene la presión intersticial inicial sin cambios. El resultado no puede ser menor que cero, porque un valor negativo sería una succión generada por el desembalse.

Figura 3.8.1 Reducción de la tensión vertical en el procedimiento

\bar B

, para un embalse que desciende de 30 m a 16 m contra un talud de 45°. La dovela A, bajo el fondo del embalse, pierde una columna de agua de 14 m; la dovela B, cuyo terreno queda entre los dos niveles, pierde solo los 8 m de agua que había sobre ella; la dovela C, por encima del nivel inicial, no pierde nada.

Con $\bar B = 1$ , un desembalse total y un nivel inicial por encima de todo el talud, la presión intersticial tras el desembalse es $\gamma_w$ multiplicada por la profundidad bajo la superficie del terreno, es decir, $r_u = \gamma_w/\gamma$ . Morgenstern (1963) elaboró sus ábacos de estabilidad para el desembalse rápido con esta misma hipótesis ( $\bar B = 1$ ), y el procedimiento $\bar B$ de OGR Slip2D se contrasta con dos de sus casos y con esa identidad.

En OGR Slip2D

$\bar B$ es el B-bar de los Rapid Drawdown Parameters del material (de 0 a 5). El procedimiento se aplica a los materiales marcados como Undrained Behaviour, cualquiera que sea su $\bar B$ ; con un valor cero se mantiene la presión intersticial inicial. La cohesión por succión de esas dovelas se anula.

Código: ogr_slip2d/rapid_drawdown.py · ogr_core/hydraulic/ponded_water.py

3.8.4Envolventes de resistencia sin drenaje#

Los procedimientos multietapa necesitan conocer la resistencia sin drenaje del suelo en función de su tensión de consolidación, que se obtiene de ensayos triaxiales consolidados isótropos sin drenaje (CIU). Estos ensayos se pueden representar de dos maneras (Duncan, Wright y Wong, 1990). La envolvente R es la recta tangente a los círculos de Mohr de rotura, en tensiones totales, cada uno de los cuales parte de su presión de consolidación $\sigma'_{3c}$ :

\tau = c_R + \sigma\tan\phi_R

La envolvente $K_c = 1$ representa la tensión tangencial en el plano de rotura, en el momento de la rotura, frente a la presión efectiva de consolidación $\sigma'_{fc} = \sigma'_{3c}$ :

\tau_{ff} = d + \sigma'_{fc}\tan\psi, \qquad \tau_{ff} = \tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_3)_f\cos\phi'

Ambas describen los mismos ensayos, por lo que cada una se puede calcular a partir de la otra. Un círculo de Mohr que parte de $\sigma'_{3c}$ y tiene radio $r = \tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_3)_f$ es tangente a la envolvente R cuando la distancia de su centro a la recta es igual a su radio:

\left[c_R + (\sigma'_{3c} + r)\tan\phi_R\right]\cos\phi_R = r \quad\Longrightarrow\quad r = \dfrac{\left(c_R + \sigma'_{3c}\tan\phi_R\right)\cos\phi_R}{1 - \sin\phi_R}

y con $\tau_{ff} = r\cos\phi'$ se obtienen los dos parámetros de la envolvente $K_c = 1$ :

d = \dfrac{c_R\cos\phi_R\cos\phi'}{1 - \sin\phi_R}, \qquad \tan\psi = \dfrac{\sin\phi_R\cos\phi'}{1 - \sin\phi_R}

La relación inversa, necesaria cuando se da la envolvente $K_c = 1$ y hace falta la envolvente R, se obtiene con $T = \tan\psi/\cos\phi'$ :

\sin\phi_R = \dfrac{T}{1 + T}, \qquad c_R = \dfrac{d\,(1 - \sin\phi_R)}{\cos\phi_R\cos\phi'}

En todas estas expresiones, $\phi'$ es el ángulo de rozamiento efectivo del suelo, el de su envolvente drenada, y no el ángulo de la envolvente R.

Figura 3.8.2 Las dos envolventes de unos mismos ensayos consolidados isótropos sin drenaje, calculadas con la conversión de OGR Slip2D 0.1.235 para

c_R = 10

kPa,

\phi_R = 14^\circ

\phi' = 30^\circ

. Cada círculo de Mohr en tensiones totales parte de su presión de consolidación y toca la envolvente R; el punto

r\cos\phi'

, situado en la abscisa de la presión de consolidación, está sobre la envolvente

K_c = 1

En OGR Slip2D

La envolvente de cada material no drenado se introduce con Define Strength… dentro de sus Rapid Drawdown Parameters, como envolvente R o como envolvente $K_c = 1$ , y cada procedimiento la convierte en la que necesita con el $\phi'$ del material. Los procedimientos multietapa requieren una envolvente efectiva lineal (Mohr-Coulomb, o una resistencia sin drenaje, que se toma con $\phi' = 0$ ), porque reescriben $c$ y $\phi$ en cada dovela; si una superficie de rotura atraviesa un material no drenado con envolvente curva, o sin envolvente de desembalse, el programa avisa de que el procedimiento no es aplicable a esa superficie.

Código: ogr_core/materials/drawdown_envelopes.py · ogr_slip2d/rapid_drawdown.py

3.8.5Procedimientos multietapa#

Etapa 1: antes del desembalse#

El talud se analiza en tensiones efectivas, con el nivel inicial y el método de dovelas elegido. La solución da, en la base de cada dovela, la tensión normal efectiva y la tensión tangencial, que se toman como las tensiones de consolidación del suelo antes del desembalse:

\sigma'_{fc} = \dfrac{N'}{l}, \qquad \tau_{fc} = \dfrac{c' + \sigma'_{fc}\tan\phi'}{F_1}

donde

$N'$: fuerza normal efectiva en la base, según la solución de la etapa 1 (kN/m)
$l$: longitud de la base (m)
$F_1$: factor de seguridad de la etapa 1 (—)

$\tau_{fc}$ es la tensión tangencial movilizada, no la resistencia. Los procedimientos suponen que el talud es estable antes del desembalse: una superficie de rotura con $F_1 < 1$ , o cuyo cálculo de la etapa 1 no ha convergido, deja de analizarse.

Etapa 2: resistencia sin drenaje tras el desembalse#

En el nivel final, cada dovela cuya base está en un material marcado como no drenado recibe una resistencia sin drenaje $\tau_{ff}$ , que se deduce de su estado de consolidación, y se analiza en tensiones totales con $c = \tau_{ff}$ , $\phi = 0$ y $u = 0$ . Las dovelas de drenaje libre conservan $c'$ , $\phi'$ y las presiones intersticiales del nivel final. El estado de consolidación de cada dovela se toma de la dovela de la etapa 1 situada en la misma abscisa, porque las dovelas de ambas etapas no tienen por qué coincidir.

En los procedimientos de Lowe y Karafiath (1960) y de Duncan, Wright y Wong (1990), la resistencia sin drenaje se interpola entre dos valores límite, ambos evaluados con el mismo $\sigma'_{fc}$ , en función de la anisotropía de las tensiones de consolidación. La relación de tensiones de consolidación de la dovela, y la relación con la que el suelo rompería durante la consolidación, son

K_1 = \dfrac{\sigma'_{1c}}{\sigma'_{3c}} = \dfrac{\sigma'_{fc} + \tau_{fc}\,(\sin\phi' + 1)/\cos\phi'}{\sigma'_{fc} + \tau_{fc}\,(\sin\phi' - 1)/\cos\phi'}

K_f = \dfrac{\left(\sigma'_{fc} + c'\cos\phi'\right)\left(1 + \sin\phi'\right)}{\left(\sigma'_{fc} - c'\cos\phi'\right)\left(1 - \sin\phi'\right)}

y la resistencia se interpola linealmente en función de esa relación:

\begin{gathered} \tau_{ff} = \dfrac{\left(K_f - K_1\right)\tau_1 + \left(K_1 - 1\right)\tau_f}{K_f - 1}\\[6pt] \tau_1 = d + \sigma'_{fc}\tan\psi, \qquad \tau_f = c' + \sigma'_{fc}\tan\phi' \end{gathered}

Aquí, $\tau_1$ y $\tau_f$ son las resistencias para $K_c = 1$ y para $K_c = K_f$ . Con $K_c = 1$ la resistencia es la de la envolvente $K_c = 1$ ; con $K_c = K_f$ el suelo rompería durante la consolidación y la resistencia es la drenada (Figura 3.8.3).

Figura 3.8.3 Interpolación en la relación de tensiones de consolidación para una dovela con

\sigma'_{fc} = 100

kPa y

\tau_{fc} = 25

kPa, con

c' = 0

\phi' = 30^\circ

y las envolventes de la Figura 3.8.2, calculada con OGR Slip2D 0.1.235.

En el procedimiento de dos etapas del Cuerpo de Ingenieros del Ejército de EE. UU. (USACE, 1970; USACE, 2003), la resistencia sin drenaje se lee directamente en la envolvente R para la tensión de consolidación:

\tau_{ff} = c_R + \sigma'_{fc}\tan\phi_R

En OGR Slip2D

$K_1$ se limita al intervalo de 1 a $K_f$ , para que la interpolación nunca extrapole. Cuando no se puede evaluar (por ejemplo, si la tensión principal menor de consolidación no es positiva), se usa el menor de los dos valores límite en lugar de tomar cero por defecto. Una resistencia sin drenaje negativa se toma como cero.

Código: ogr_slip2d/rapid_drawdown.py

Etapa 3: el límite drenado#

Una resistencia sin drenaje superior a la drenada solo se puede mantener con presiones intersticiales negativas, que la cavitación o un drenaje parcial pueden impedir. Por eso Duncan, Wright y Wong añaden una tercera etapa, y el Cuerpo de Ingenieros emplea una envolvente compuesta, la menor entre la envolvente R y la drenada. En ambos procedimientos, OGR Slip2D limita la resistencia de cada dovela no drenada a la resistencia drenada, calculada con la tensión normal de la solución posterior al desembalse, y repite el análisis:

\begin{gathered} \tau^{(k+1)} = (1 - \omega)\,\tau^{(k)} + \omega\,\min\!\left[\tau_{ff},\ c' + \sigma_d^{(k)}\tan\phi'\right]\\[6pt] \sigma_d^{(k)} = \dfrac{N^{(k)}}{l}, \qquad \tau^{(0)} = \tau_{ff} \end{gathered}

donde

$\tau^{(k)}$: resistencia de la dovela en la iteración $k$ (kPa)
$N^{(k)}$: fuerza normal en la base en la solución de la iteración $k$ , en la que las dovelas no drenadas no tienen presión intersticial (kN/m)
$\omega$: factor de relajación (—)

Al limitar una dovela baja el factor de seguridad, lo que modifica las fuerzas normales con las que se evalúa el límite; por eso este se itera hasta alcanzar un punto fijo. El factor de seguridad del procedimiento es el menor de los de las etapas 2 y 3. Evaluar la resistencia drenada con la tensión posterior al desembalse, y no con la tensión de consolidación $\sigma'_{fc}$ , es la opción con la que el programa reproduce ambos procedimientos en el ejemplo resuelto de USACE (2003, Apéndice G).

En OGR Slip2D

La iteración comienza con $\omega = 0.5$ , que se reduce a la mitad cada vez que el factor de seguridad cambia de sentido de variación (sin bajar de 0.05), y se detiene cuando dos iteraciones consecutivas difieren en menos de $10^{-4}$ o tras 20 iteraciones. Si en una superficie el límite sigue oscilando de forma cíclica, se da el resultado en el centro del ciclo (la media de las dos últimas iteraciones) y se marca como no estabilizado. Los resultados de cada superficie incluyen los factores de seguridad de las tres etapas, el número de dovelas no drenadas y limitadas, y las iteraciones del límite. Si el método de alguna etapa no da factor de seguridad, la superficie se invalida, con el motivo que indica esa etapa.

Código: ogr_slip2d/rapid_drawdown.py · ogr_core/materials/drawdown_envelopes.py

3.8.6Barrido de niveles de desembalse#

El desembalse total no siempre es el caso crítico. En un talud homogéneo, el factor de seguridad disminuye de forma continua a medida que baja el embalse, y rige el desembalse total (Morgenstern, 1963). En una presa zonificada cuyo espaldón de aguas arriba drena libremente, un desembalse total deja el espaldón sin presión intersticial, mientras que uno parcial deja agua en él cerca del pie; entonces el mínimo puede producirse en un nivel intermedio.

El barrido de niveles de desembalse repite todo el análisis, incluida la búsqueda, con una serie de niveles finales. La búsqueda se repite porque la superficie crítica se desplaza con el nivel: si se conservara la misma superficie en todos los niveles, podría pasarse por alto el mínimo que busca el barrido. Por defecto se toman once niveles, equiespaciados desde el nivel inicial en el centro del modelo hasta el punto más bajo de su contorno externo, más el desembalse total. En cada nivel, la línea de desembalse se desplaza sin deformarse hasta que su cota media coincide con ese nivel, o se crea una línea horizontal si el modelo no tiene ninguna.

En OGR Slip2D

Groundwater → Drawdown Level Sweep… está disponible cuando ya se ha configurado un análisis de desembalse rápido (Number of levels de 2 a 101, once por defecto; Include total drawdown). Da el nivel crítico y cuánto sobrestimaría el factor de seguridad un análisis limitado al desembalse total, $F_\text{total}/F_\text{min} - 1$ , y dibuja el factor de seguridad de cada método en función del nivel. El coste es una búsqueda completa por cada nivel y cada método.

Código: ogr_core/statistics/drawdown_sweep.py · ogr_core/hydraulic/drawdown_levels.py

3.8.7La filtración transitoria como alternativa#

Los procedimientos anteriores suponen que los materiales no drenados no drenan nada durante el desembalse y que los de drenaje libre drenan por completo. Si se conocen la velocidad del desembalse y las permeabilidades, el desembalse se puede modelar, en cambio, como un problema de filtración transitoria (Sección 3.7.8). El nivel del embalse de cada etapa se baja mediante las condiciones de contorno, y la estabilidad se calcula en tensiones efectivas en cada etapa marcada con Calculate SF, con las presiones intersticiales de esa etapa (incluida la succión, cuando lo permiten los parámetros del material) y con el agua embalsada que le corresponde. El resultado es el factor de seguridad en función del tiempo, cuyo mínimo no tiene por qué darse al final del desembalse.

Este camino no necesita ninguna envolvente sin drenaje, pero su resultado depende de las permeabilidades y de los parámetros de almacenamiento de los materiales, que a menudo son más inciertos que las resistencias.

Figura 3.8.4 Desembalse transitorio de la presa de tierra del ejemplo 5, talud de aguas arriba. El embalse (en azul, eje derecho) baja desde 13 m a razón de 2.4 m cada dos días, hasta llegar a 1 m el día 8, y después se mantiene. El factor de seguridad, obtenido con una búsqueda por rejilla completa y el método de Spencer al final de cada etapa, desciende de 2.60 con el embalse lleno a 1.47 el día 10, dos días después de que el nivel dejara de bajar, y se recupera a medida que la presa drena: 1.53 a los 20 días y 1.64 a los 50. Cálculo realizado con OGR Slip2D 0.1.235.

En OGR Slip2D

Las etapas, cada una con su nivel de embalse, se definen en Groundwater → Transient Groundwater…; los factores de seguridad de cada etapa marcada se guardan con su resultado y se muestran en Interpret Groundwater. Para que tomen las presiones intersticiales de las etapas, los materiales deben ser de tipo fem. Un análisis transitorio no se puede combinar con la opción Rapid Drawdown analysis.

Código: ogr_slip2d/transient_stability.py

Criterio de ingeniería

Los procedimientos parten de hipótesis distintas y pueden dar factores de seguridad bastante diferentes para una misma sección, por lo que conviene comparar más de uno. El barrido de niveles de desembalse indica si el desembalse total es el caso crítico, y la envolvente sin drenaje debe contrastarse con los ensayos de los que procede.

3.8.8Referencias#

Duncan, J.M., Wright, S.G. & Wong, K.S. (1990). Slope stability during rapid drawdown. Proceedings of the H. Bolton Seed Memorial Symposium, vol. 2, 253–272. BiTech Publishers, Vancouver.
Lowe, J. & Karafiath, L. (1960). Stability of earth dams upon drawdown. Proceedings of the 1st Pan-American Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Mexico City, vol. 2, 537–552.
Morgenstern, N. (1963). Stability charts for earth slopes during rapid drawdown. Géotechnique, 13(2), 121–131.
Skempton, A.W. (1954). The pore-pressure coefficients A and B. Géotechnique, 4(4), 143–147.
U.S. Army Corps of Engineers (1970). Engineering and Design: Stability of Earth and Rock-Fill Dams. Engineer Manual EM 1110-2-1902. Washington, DC.
U.S. Army Corps of Engineers (2003). Engineering and Design: Slope Stability. Engineer Manual EM 1110-2-1902. Washington, DC.
Wright, S.G. & Duncan, J.M. (1987). An Examination of Slope Stability Computation Procedures for Sudden Drawdown. Miscellaneous Paper GL-87-25, U.S. Army Engineer Waterways Experiment Station, Vicksburg.